合同記号

整数論にて、合同記号の左右の整数の値を括弧内のmodで示した値で割った余りが等しいことを示す「合同式」に用いられる。

カール・フリードリヒ・ガウスは、1801年に『Disquisitiones Arithmeticae』で数の合同の記号として使用した。当時の形は

${\displaystyle a\equiv b\quad ({\text{mod.}}\ m)}$

${\displaystyle a\equiv b\quad ({\text{modo}}\ m)}$

だった[1]。

${\displaystyle a\equiv b\mod m}$

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

${\displaystyle a\equiv b\ {\bmod {\ }}m}$

${\displaystyle a\equiv b\ (m)}$

などはいずれも、「a と b は m を法として合同である」すなわち「a と b の各々を m で割った余りが等しい」ことを意味する。ここで、「合同記号」とは「≡」のみのことであり、「mod」は含めない。

法が文脈から明らかだったり、法によらず合同式が成立する場合は、

${\displaystyle a\equiv b}$

と法を省略できる。

ゴットフリート・ライプニッツは、1710年にベルリン大学のジャーナル誌であるベルリン論集(Miscellanea Berolinensia)に発表したMonitumで、「≃」（1本線の上にチルダ）を図形の合同を表す目的として使用した[2]。

ヨハン・フリードリッヒ・ハセラーは、1777年にAnfangsgründe der Arith., Alg., Geom. und Trigで「≌」[注 1]（等号の上に逆チルダ）を使用した[2]。

1824年にカール・モルワイデが、逆チルダをチルダに変更した「≅」（等号の上にチルダ）を使用するようになった[2]。

現在、多くの国で、モルワイデの「≅」（等号の上にチルダ）を使う[3]。

例外的に、日本・韓国[4]では、もっぱら「≡」（3本線）を使う。合同記号として「≡」を用いたのはボーヤイ・ヤーノシュである[5]。

ハセラーの「≌」（等号の上に逆チルダ）を使うこともある。

2次元図形に対して使う機会が多いが、3次元以上の場合にも同じ記号が用いられる（1次元以下にも理論上定義できるが使う意義はほとんどない）。

${\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \equiv \triangle \mathrm {DEF} }$

${\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF} }$

はいずれも、「三角形ABCと三角形DEFが合同である」ことを意味する。なお、これを

${\displaystyle \triangle \mathrm {ABC} =\triangle \mathrm {DEF} }$

と書くと、「三角形ABCと三角形DEFは面積が等しい」という意味になる。

左辺と右辺が常に等しい「恒等式」を表す。ベルンハルト・リーマンが1899年に『楕円関数論』で使用した[5]。

たとえば:

${\displaystyle ab\equiv ba}$

は「常に ab = ba である」ことを表す。

左辺を右辺の式で定義するときに使う[6]。これには、「≔」（等号の左にコロン）[6]、「≜」（等号の上に三角形）[6]、「≝」（等号の上に「def」）[7]も使われる。

たとえば:

${\displaystyle f(x)\equiv x^{2}}$

${\displaystyle f(x):=x^{2}}$

${\displaystyle f(x)\triangleq x^{2}}$

${\displaystyle f(x){\overset {\underset {def}{}}{=}}x^{2}}$

${\displaystyle f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}x^{2}}$

はいずれも、「f(x) を x² と定義する」あるいは「定義により f(x) = x² である」ことを意味する。

左辺と右辺の命題もしくは論理式が同値であることを表す。E・H・ムーアや、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルが、1910年に使用した[8]。

他に、「=」（等号）[8]、「⇔」（二重左右矢印）[8]、「⟺」（長い二重左右矢印）[8]、「↔」（一重左右矢印）[8]、「⇌」（右向きと左向きの半分の矢印を上下に重ねたもの）[8]も使う。

たとえば:

${\displaystyle P\equiv Q}$

${\displaystyle P=Q}$

${\displaystyle P\Leftrightarrow Q}$

${\displaystyle P\Longleftrightarrow Q}$

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

${\displaystyle P\rightleftharpoons Q}$

はいずれも、「P と Q が同値である」ことを意味する。