アベル・プラナの和公式

${\displaystyle \pi \cot {\pi }z}$は${\displaystyle \forall {z\in \mathbb {Z} }}$に位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路${\displaystyle C}$が実軸を${\displaystyle a,b}$で切るようにすれば、留数の定理により、

${\displaystyle 2{\pi }i\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\oint _{C}\pi \cot {{\pi }z}f(z)dz}$

である。積分経路の表記を

${\displaystyle {\begin{aligned}&C_{1}:a,a+i\infty ,b+i\infty ,b\\&C_{2}:a,a-i\infty ,b-i\infty ,b\\\end{aligned}}}$

とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}2\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)&=-i\oint _{C}\cot {{\pi }z}f(z)dz\\&=-i\oint _{C_{2}-C_{1}}\cot {{\pi }z}f(z)dz\\&=-\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{C_{2}}f(z)-\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{C_{1}}f(z)dz\\\end{aligned}}}$

であるが、${\displaystyle f(z)}$は仮定により正則であるから、

${\displaystyle {\begin{aligned}2\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)&=2\int _{a}^{b}f(z)dz-\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz-\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\\end{aligned}}}$

である。さて、

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\left|1-i\cot {{\pi }z}\right|&=\left|1+{\frac {e^{{\pi }iz}+e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}-e^{-{\pi }iz}}}\right|\\&=\left|{\frac {2e^{{\pi }iz}}{e^{-{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}-e^{-{\pi }iz}}}\right|\\&=\left|{\frac {2e^{{\pi }iz}}{e^{-{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}}\right|\leq \left|3e^{2{\pi }iz}\right|\qquad (\Im {z}{\geq }1)\\\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\left|1+i\cot {{\pi }z}\right|&=\left|{\frac {2e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}}\right|\leq \left|3e^{-2{\pi }iz}\right|\qquad (\Im {z}{\leq }-1)\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}}$

であり、仮定により

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-2{\pi }y}\left|f(x{\pm }iy)\right|dy=0}$

であるから

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz&=\int _{b+i\infty }^{b}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{a}^{a+i\infty }\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\&=-\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z+{\pi }b}\right)\right)f(b+z)dz+\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z+{\pi }a}\right)\right)f(a+z)dz\qquad (z\rightarrow {b+z,a+z})\\&=-\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy+{\pi }b}\right)\right)f(b+iy)dy+\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy+{\pi }a}\right)\right)f(a+iy)dy\qquad (z\rightarrow {iy})\\\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz&=\int _{a}^{a-i\infty }\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{b-i\infty }^{b}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\&=-\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z-{\pi }a}\right)\right)f(a-z)dz+\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z-{\pi }b}\right)\right)f(b-z)dz\qquad (z\rightarrow {a-z,b-z})\\&=-\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy-{\pi }a}\right)\right)f(a-iy)dz+\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy-{\pi }b}\right)\right)f(b-iy)dz\qquad (z\rightarrow {iy})\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}}$

である。また、

${\displaystyle i+\cot {z}=i+i{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}={\frac {2ie^{iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}=-{\frac {2i}{e^{-2iz}-1}}}$

であるから、以上を綜合して

${\displaystyle \sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\left({\frac {f(a+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(a-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(b+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ib}-1}}+{\frac {f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ib}-1}}\right)dy,\qquad (a,b\not \in \mathbb {Z} )}$

を得る。また、${\displaystyle a,b}$が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy,\qquad (a,b\in \mathbb {Z} )}$

となる。

${\displaystyle f(a\pm {iy})}$を${\displaystyle a}$を中心としたテイラー級数に、${\displaystyle f(b\pm {iy})}$を${\displaystyle b}$を中心としたテイラー級数に展開すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}f(n)&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy\\&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)(iy)^{k}-f^{(k)}(a)(-iy)^{k}-f^{(k)}(b)(iy)^{k}+f^{(k)}(b)(-iy)^{k}}{\left(e^{2{\pi }y}-1\right)k!}}dy\\&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {f^{(2k-1)}(a)-f^{(2k-1)}(b)}{(2k-1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2k-1}}{e^{2{\pi }y}-1}}dy\\\end{aligned}}}$

となるが、最後の積分は

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2k-1}}{e^{2{\pi }y}-1}}dy&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-2{\pi }y}y^{2k-1}}{1-e^{-2{\pi }y}}}dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-2{\pi }ny}y^{2k-1}dy\\&={\frac {1}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{2k-1}dt\qquad (t=2{\pi }ny)\\&={\frac {(2k-1)!}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\\&={\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}}{4k}}\\\end{aligned}}}$

であるから

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}f(n)&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\\\end{aligned}}}$

となり、オイラーの和公式を得る。なお、${\displaystyle B_{2k}}$はベルヌーイ数である。

1. Wolfram Mathworld: Abel-Plana Formula