アラン分散

振動は以下の式で表される。

${\displaystyle V(t)=V_{0}\sin(\Phi (t)).}$

位相は以下のように表される。

${\displaystyle \Phi (t)=\omega _{\text{n}}t+\varphi (t)=2\pi \nu _{\text{n}}t+\varphi (t).}$

${\displaystyle \nu _{\text{n}}}$は基準となる周波数を表し、${\displaystyle \varphi (t)}$は位相ノイズを表す。

瞬間的な周波数は、位相の時間微分で表される。

${\displaystyle \nu (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\Phi (t)}{dt}}.}$

瞬間的な周波数の、基準となる周波数からの偏差を規格化して、以下の量を定義する。

${\displaystyle y(t)={\frac {\nu (t)-\nu _{\text{n}}}{\nu _{\text{n}}}}={\frac {\nu (t)}{\nu _{\text{n}}}}-1.}$

規格化された周波数偏差の時間平均は以下のように定義される。

${\displaystyle {\bar {y}}(t,\tau )={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }y(t+t_{v})\,dt_{v},}$

ここでτは平均化時間を表す。

n番目の周波数偏差を以下のように表すとする。

${\displaystyle {\bar {y}}_{n}={\bar {y}}(n\tau ,\tau )}$

アラン分散は以下のように定義される。

${\displaystyle \sigma _{y}^{2}(\tau )={\frac {1}{2}}\left\langle \left({\bar {y}}_{n+1}-{\bar {y}}_{n}\right)^{2}\right\rangle }$

ただし、${\displaystyle \langle \dotsm \rangle }$は期待値を表す。

標準偏差と分散の関係と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義される。

${\displaystyle \sigma _{y}(\tau )={\sqrt {\sigma _{y}^{2}(\tau )}}.}$