イマナント

数学における行列のイマナント（英: Immanant）は Littlewood & Richardson (1934) が行列式 (determinant) およびパーマネント (permanent) の概念を一般化するものとして導入した。

λ ≔ (λ₁, λ₂, …) を n の分割、χ_λ を対称群 S_n の表現論的指標とするとき、n × n 行列 A ≔ (a_ij) の指標 χ_λ に付随する「イマナント」は、

$${\displaystyle \operatorname {Imm} _{\lambda }(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}}$$

で定義される。

• 行列式はイマナントの特別の場合で、χ_λ として（置換の符号によって定義される）S_n の交代指標をとったものである。
• パーマネントは χ_λ として自明指標（恒等的に 1 に等しい）をとった場合である。

例えば、3 × 3 行列の場合に、S₃ の既約表現は以下の指標標の如く三つある:

既に述べた通り、χ₁ はパーマネントを χ₂ は行列式を与える。そして χ₃ は

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}}$$

と写される演算を定義する。

Littlewood & Richardson (1934) は対称群の表現論におけるシューア函数との関係も調べている。