ウィーナー＝池原の定理

ラプラス＝スティルチェス変換において、α(t) の代わりに α(e^t) をとり、u=e^t と変数変換すれば、メリン＝スティルチェス変換に対する定理の系が得られる。

α(u)を[1, ∞)で非負、非減少関数であるとし、メリン＝スティルチェス変換

${\displaystyle f(s)=\int _{1}^{\infty }u^{-s}d\alpha (u)}$

はRe(s) > 1で収束するとする。このとき、ある定数Aが存在し、

${\displaystyle g(s)=f(s)-{\frac {A}{s-1}}}$

が閉半平面Re(s) ≥ 1に連続拡張可能であれば、u → +∞での漸近的挙動として、

${\displaystyle \alpha (u)\sim Au}$

が成り立つ[1][2]。

数列 {a_n} から定義される

${\displaystyle \alpha (t)=\sum _{n\leq e^{t}}a_{n}}$

にラプラス＝スティルチェス変換を行えば、次のディリクレ級数に対する定理の系が得られる。

f(s)をa_n > 0を満たす数列 {a_n} によって、Re(s) > 1で定義される次の形のディリクレ級数とする。

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

このとき、正の定数Aが存在し、

${\displaystyle g(s)=f(s)-{\frac {A}{s-1}}}$

が閉半平面Re(s) ≥ 1に連続拡張可能であれば、

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$

のn → +∞での漸近的挙動として、

${\displaystyle s_{n}\sim An}$

が成り立つ[1][2]。

同様の結果はエドムント・ランダウによって得られていたが、f(s) の増大条件として、ある定数 c が存在し、

${\displaystyle f(s)=O(|s|^{c})\quad (\operatorname {Re} s\geq 1)}$

とする仮定を必要としていた。池原はこの条件を緩和し、より一般的にこの結果が成立することを示した[3][4]。

素数定理は値 x 以下の素数 p の個数

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$

について、

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln {x}}}\quad x\to \infty }$

が成り立つ、またはそれと同値な内容として、チェビシェフ関数

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\ln {p}=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$

に対し、

${\displaystyle \psi (x)\sim x\quad x\to \infty }$

が成り立つことを述べている。但し、Λ(n) は n=p^k (p は素数、k は1以上の整数)のときはln p、それ以外はゼロの値をとるフォン・マンゴルト関数である。

素数定理は、リーマンゼータ関数 ζ(s) の対数微分で定義される

${\displaystyle f(s)=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

にウィーナー＝池原の定理を適用することで示すことができる。実際、ζ(s) はRe(s)=1上で零点を持たず、かつ s=1 での留数１の１位の極を除いて、半平面Re(s) ≥ 1で解析的である[7]。

よって、

${\displaystyle g(s)=f(s)-{\frac {1}{s-1}}}$

はRe(s) ≥ 1で解析的であり、ディリクレ級数におけるウィーナー＝池原の定理の系からチェビシェフ関数ψ(x)は

${\displaystyle \psi (x)\sim x\quad x\to \infty }$

を満たす。