ウォリス積分

ウォリス積分 ${\displaystyle I_{m}}$（m は 0 以上の整数）は

${\displaystyle I_{m}:=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta }$

で定義される。部分積分によって

${\displaystyle I_{m+1}=m(I_{m-1}-I_{m+1})}$

すなわち漸化式

${\displaystyle {\frac {I_{m+1}}{I_{m-1}}}={\frac {m}{m+1}}}$

が得られる。これより m の偶奇に応じて ${\displaystyle I_{m}}$ の値が求まる。

• ${\displaystyle I_{2n+1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdots {\frac {2}{3}}\cdot 1={\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}={\frac {1}{2n+1}}\cdot {\frac {4^{n}}{{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}}}$
• ${\displaystyle I_{2n}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdots {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}{4^{n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}$

ただし${\displaystyle n!!}$は二重階乗である。

• ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta ={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$

m = 2n を代入すると先述の ${\displaystyle I_{2n}}$ の求値より

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$