エキゾチック R⁴

エキゾチック${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$は標準的な${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$の開部分集合として滑らかにに埋め込みできる場合、小さいと呼ばれる。

小さなエキゾチック${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$は自明でない滑らかな 5次元のh-コボルディズム(この次元ではh-コボルディズムの定理が成り立たないというドナルドソンの証明によって存在する) から始めて、位相的なh-コボルディズムの定理がこの次元で保持されるフリードマンの定理を使用することによって構築できる。

エキゾチック${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$は標準的な${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$の開部分集合として滑らかにに埋め込みできない場合、大きいと呼ばれる。

大きなエキゾチック${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$の例は、コンパクトな 4 次元多様体がしばしばトポロジカル和として分割できる (フリードマンの研究による) が、滑らかな和として分割できない (ドナルドソンの研究による) という事実を使用して構築できる。

Michael Hartley Freedman と Laurence R. Taylor (1986) は、最大のエキゾチック${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$があることを示しました。他のすべての${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$はその中に開部分集合として滑らかに埋め込むことができる。

Casson ハンドルはフリードマンの定理により${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$と同相であるが、ドナルドソンの定理から、それらはすべて${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$と微分同相ではない。言い換えれば、一部の Casson ハンドルはエキゾチック${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$である。

1. Kirby (1989), p. 95
2. Freedman and Quinn (1990), p. 122
3. Taubes (1987), Theorem 1.1
4. Stallings (1962), Corollary 5.2

• Freedman, Michael H.; Quinn, Frank (1990). Topology of 4-manifolds. Princeton Mathematical Series. 39. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3. https://archive.org/details/topologyof4manif0000free
• Freedman, Michael H.; Taylor, Laurence R. (1986). “A universal smoothing of four-space”. Journal of Differential Geometry 24 (1): 69–78. doi:10.4310/jdg/1214440258. ISSN 0022-040X. MR857376. https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214440258.
• Kirby, Robion C. (1989). The topology of 4-manifolds. Lecture Notes in Mathematics. 1374. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-51148-2
• Stallings, John (1962). “The piecewise-linear structure of Euclidean space”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 58 (3): 481–488. Bibcode: 1962PCPS...58..481S. doi:10.1017/s0305004100036756. http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2053736&fulltextType=RA&fileId=S0305004100036756. MR0149457
• Taubes, Clifford Henry (1987). “Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds”. Journal of Differential Geometry 25 (3): 363–430. doi:10.4310/jdg/1214440981. MR882829. Template:Euclid. http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214440981.