エルミート標準形

数学の線型代数学におけるエルミート標準形（エルミートひょうじゅんけい、英: Hermite normal form）とは、整数全体 Z についての行列の行階段形と同様の概念である。

非特異正方行列

成分が整数であるような非特異正方行列 M = (m_ij) がエルミート標準形（Hermite normal form, HNF）であるとは、次を満たすときを言う：

M は上三角行列である[1]。
対角成分 m_ii が正である。
i > j に対し、m_ii > m_ji ≥ 0 が成立する。すなわち、ある列において、その対角成分よりも上に位置する成分は非負であり、その対角成分よりも小さい。

一般的な行列

より一般的に、成分が整数であるような m×n 行列がエルミート標準形（HNF）であるとは、

0 ≤ r ≤ n を満たすような r、および
単調増加関数 f: [r + 1, n] → [1, m]

が存在し、M のはじめの r 列がゼロで、r + 1 ≤ j ≤ n に対し

m_f(j)j > 0。
i > f(j) のときは、m_ij = 0。
k < f(j) のときは、m_f(j)j > m_kj ≥ 0。

が成立することを言う。

エルミート標準形の一意性

成分が整数であるような m×n 行列 A が任意に与えられたとき、

H=UA

ただし U ∈ GL_n(Z)（すなわち、U はユニモジュラ行列である）

を満たすような、整数成分のエルミート標準形の m×n 行列 H が一意に存在する。H の非ゼロの列により構成される行列のことを、A のエルミート標準形と呼ぶ。

例

以下の行列 A のエルミート標準形が、H である。

A={\begin{pmatrix}5&3&1&4\\0&1&0&0\\0&0&19&16\\0&0&0&3\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}5&0&1&1\\0&1&0&0\\0&0&19&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}

例

行列 A のエルミート標準形が、行列 H である。

$A={\begin{pmatrix}0&0&5&0&1&4\\0&0&0&-1&-4&99\\0&0&0&20&19&16\\0&0&0&0&2&1\\0&0&0&0&0&3\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}0&0&5&0&0&2\\0&0&0&1&0&1\\0&0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0&3\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$

ここで r=2; f(3)=1, f(4)=2, f(5)=3, f(6)=4 が得られる（f(j) は、列 j に含まれる最小の非ゼロ成分の行を与える）

注釈

何人かの研究者は下三角行列を用いることを好む。すなわち、定義の残りにおいて適切な調整がなされる必要があるのである。

参考文献

Section 2.4.2 of Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 138, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4, MR 1228206

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[1] 何人かの研究者は下三角行列を用いることを好む。すなわち、定義の残りにおいて適切な調整がなされる必要があるのである。

エルミート標準形

非特異正方行列

一般的な行列

エルミート標準形の一意性

例

例

関連項目

注釈

参考文献