エルンスト・イジング

イジング模型は1または−1をとるスピンと呼ばれる変数の離散的に集めたもので定義される。スピン ${\displaystyle S_{i}}$ はペアで相互作用をし、2つのスピンが同じ場合は1つの値のエネルギーを持ち、2つのスピンが異なる場合は2番目の値のエネルギーを持つ。

イジング模型のエネルギーは次のように定義される。

${\displaystyle E=-\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}\,}$

ここで、和はスピンの各ペアを1度だけカウントしている。スピンの積は2つのスピンが同じ（整列）場合は+1であり、異なる（不整列）場合は−1になる。Jは2つの可能性の間のエネルギーの差の半分である。磁気相互作用はスピンを互いに整列させようとする。熱エネルギーが相互作用の強度よりも大きい場合、スピンはランダム化される。

それぞれの組み合わせにおいて

${\displaystyle J_{ij}>0}$ のとき、この相互作用は強磁性と呼ばれる。

${\displaystyle J_{ij}<0}$ のとき、この相互作用は反強磁性と呼ばれる。

${\displaystyle J_{ij}=0}$ のとき、このスピンは相互作用していない。

強磁性相互作用はスピンを整列させる傾向があり、反強磁性はスピンを反整列させる傾向がある。

スピンはグラフ上にあると考えることができる。このグラフの各ノードに1つのスピンがあり、各エッジが2つのスピンを非ゼロのJの値で接続している。全てのJが等しい場合、Jの単位でエネルギーを測定すると都合がよい。模型はグラフとJの符号により完全に明示される。

反強磁性1次元イジング模型は次のエネルギー関数を持つ。

${\displaystyle E=\sum _{i}S_{i}S_{i+1}\,}$

ここでiは全ての整数で実行される。これにより最近接の各ペアが接続される。

1924年の博士論文において、このモデルの1次元の場合を解決した。1次元では解から相転移は認められない。この結果に基づき、イジングは自身の模型はどの次元でも相転移を示さないという誤った結論を出した。

科学文献においてこの模型が達成した重要性をイジングが知ったのは博士論文から25年後の1949年であった。今日、毎年この模型を使った約800の論文が発表されており、ニューラルネットワーク、タンパク質フォールディング、生体膜、社会的行動などの多様な分野の問題を対処している[5][7]。