オメガ定数

オメガ定数(オメガていすう、omega constant) とは、

$\Omega \times e^{\Omega }=1$

を満たす数学定数であり、およそ Ω ＝ 0.5671432904097838729999686622… である。

また、

$\Omega =W(1)\,$

とも定義できる（ただし、W: ランベルトのW関数）。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは

$e^{-\Omega }=\Omega \,$

が、

$\ln(1/\Omega )=\Omega \,$

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω₀ から始めて、Ω が漸化式

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}$

を用いて反復計算できることがわかる。この数列は

$\lim _{n\to \infty }\Omega _{n}=\Omega$

に収束する。

無理性

Ω が無理数であることは、「e がすでに超越数であることが証明されている」事実を前提に、背理法で証明できる。

Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。

${\frac {p}{q}}=\Omega$

これをオメガ定数の定義式に代入すれば、

$1={\frac {p}{q}}e^{\frac {p}{q}}$
$e^{p}=\left({\frac {q}{p}}\right)^{q}$

これは、e が p 次の代数的数であることを示しているが、e は超越数であると証明されているため、背理法により Ω は無理数でなければならない。

高さが無限大のテトレーション ${({\frac {1}{e}})}^{{({\frac {1}{e}})}^{.^{.^{({\frac {1}{e}})}}}}$ の極限は、オメガ定数 Ω に収束する。

また、 ${({\frac {1}{\Omega }})}^{({\frac {1}{\Omega }})}$ の値は、e に等しい。

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