カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理

真性特異点を持つ関数の例として

${\displaystyle f(z)=e^{1/z}}$

を挙げる。任意の ${\displaystyle v\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ について

${\displaystyle z={\frac {1}{\log v+2{\pi }in}},\quad {n\geq {\frac {1}{2\pi \delta }}+1}}$

とすれば、${\displaystyle \left|z\right|<\delta }$ で ${\displaystyle f(z)=v}$ となることが確かめられる。カゾラーティの定理は、真性特異点を持つ他の関数も同様に振る舞うことを主張する。但し、カゾラーティの定理は全ての値について「それに限りなく近い値」を取るとしか主張していない。ピカールの定理は、「それに限りなく近い値」しか取らないという値が高々唯一の例外であることを主張する。

背理法を用いる。

${\displaystyle \exists {\epsilon >0},\exists {v\in \mathbb {C} },\forall {z\in \mathbb {U} _{\delta }},\left|f(z)-v\right|\geq \epsilon }$

であると仮定し、

${\displaystyle F(z)={\frac {1}{f(z)-v}}}$

と置けば、

${\displaystyle \left|F(z)\right|={\frac {1}{\left|f(z)-v\right|}}\leq {\frac {1}{\epsilon }}\qquad \left(z\in \mathbb {U} _{\delta }\right)}$

となるので、 ${\displaystyle F}$ は ${\displaystyle \mathbb {U} _{\delta }}$ で正則である。一方、 ${\displaystyle z_{0}}$ は ${\displaystyle f}$ の真性特異点であるから、${\displaystyle z\to z_{0}}$ の接近経路により ${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)}$ はいろいろな値を取り得る。しかし、もし、ある ${\displaystyle z\to z_{0}}$ の経路上で ${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)=v}$ となると仮定すると、 その経路上で ${\displaystyle \forall {\epsilon >0},\exists {z\in \mathbb {U} _{\delta }},\left|f(z)-v\right|<\epsilon }$ が成り立ち、仮定に反する。従って、${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}\left|F(z)\right|}$ の値は接近経路に依存するが、無限大となることはない。このため

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})F(z)=0}$

は成立し、リーマンの定理により ${\displaystyle z_{0}}$ は ${\displaystyle F}$ の除去可能な特異点であることになる。従って、 ${\displaystyle \forall {z\in \mathbb {U} _{\delta }},F(z)=G(z)}$ を満たし、 ${\displaystyle z_{0}}$ で正則な関数 ${\displaystyle G}$ が存在する。 ${\displaystyle G}$ は ${\displaystyle z_{0}}$ でテイラー展開可能であり、

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{G(z)}}+v\qquad \left(z\in \mathbb {U} _{\delta }\right)}$

となるが、これは ${\displaystyle f}$ が ${\displaystyle \mathbb {U} _{\delta }}$ で有理型となることを意味する。すなわち、 ${\displaystyle \forall {z\in \mathbb {U} _{\delta }}}$ で${\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)}$ が有界となる自然数 n が存在することになり、定理の仮定に反する。

1. John J O'Connor and Edmund F Robertson, "The MacTutor History of Mathematics archive: Felice Casorati"