クヌースの矢印表記

乗算は、加算の反復によって定義できる。

${\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b{\text{ copies of }}a}}$

冪乗は、乗算の反復によって定義できる。

${\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b{\text{ copies of }}a}}$

なお、一部の初期のコンピュータでは、上向き矢印を冪乗演算子に使った[6]ので、それを使うと

${\displaystyle a\uparrow b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b\mathrm {\ copies\ of\ } a}=a^{b}}$ 。

例として、 グーゴルプレックス ${\displaystyle 10^{10^{100}}}$ は、10↑10↑100 と書ける。

ここでクヌースは、二重矢印をテトレーション（指数計算の反復）を表す演算子として定義した[2]。

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{b{\text{ copies of }}a}=\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} _{b{\text{ copies of }}a}}$

これを用いると、

${\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow 2&=2^{2}=4\,\\2\uparrow \uparrow 3&=2^{2^{2}}=2^{4}=16\,\\2\uparrow \uparrow 4&=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536\,\\2\uparrow \uparrow 5&=2^{2^{2^{2^{2}}}}=2^{2^{16}}=2^{65536}\approx 2.003\times 10^{19728}\end{aligned}}}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.258\times 10^{3638334640024}}$

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 3=10^{10^{10}}=10^{10000000000}}$ (10の100億乗)

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 4=10^{10^{10^{10}}}=10^{10^{10000000000}}}$

などと書ける。

さらにクヌースは、三重以上の矢印演算子を定義した。三重矢印は二重矢印による演算を反復する演算子であり、ペンテーションを表す。

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} _{b{\text{ copies of }}a}}$

同様に、四重矢印演算子も定義できる。これはヘキセーションを表す。

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a} _{b\mathrm {\ copies\ of\ } a}}$

これを一般的に述べると、n 重の矢印演算子は、(n -1) 重の矢印演算子の反復として表すことができる[2]。

${\displaystyle a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{n{\text{ pieces of the arrow}}}b=\underbrace {a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{(n-1){\text{ pieces of the arrow}}}a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{(n-1){\text{ pieces of the arrow}}}\cdots a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{(n-1){\text{ pieces of the arrow}}}a} _{b{\text{ copies of }}a}}$

具体例を挙げると、14↑↑↑↑4 は 14↑↑↑14↑↑↑14↑↑↑14 である。

なお、矢印を使った指数の記法 ${\displaystyle a\uparrow b=a^{b}}$ も、クヌースの矢印記号の特殊例（一重矢印）として再解釈される。

クヌースの矢印（通常の指数計算である a↑b も含む）は右結合である。つまり、${\displaystyle a\uparrow b\uparrow c}$ と書かれたときこれは ${\displaystyle a\uparrow \left(b\uparrow c\right)}$ を表し、${\displaystyle \left(a\uparrow b\right)\uparrow c}$ ではない。

具体例を挙げると、

${\displaystyle 3\uparrow 2\uparrow 3}$

は

${\displaystyle 3\uparrow \left(2\uparrow 3\right)=3\uparrow 8=3^{8}=6561}$

だが、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(3\uparrow 2\right)\uparrow 3=&9\uparrow 3=9^{3}\\=&3\uparrow \left(2\times 3\right)=3\uparrow 6=3^{6}\\=&729\end{aligned}}}$

ではない。