クネーザーの定理 (微分方程式)

次の形状の線型同次常微分方程式を考える。

${\displaystyle y''+q(x)y=0.\,}$

ただし

${\displaystyle q:[0,+\infty )\to \mathbb {R} }$

は連続関数である。この方程式は、無限個の零点を伴う解 y を持つとき振動的（oscillating）と言われ、そうでない場合は非振動的（non-oscillating）と言われる。

クネーザーの定理では、この方程式が非振動的であるための十分条件は

${\displaystyle \limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)<{\tfrac {1}{4}}}$

であり、振動的であるための十分条件は

${\displaystyle \liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)>{\tfrac {1}{4}}}$

であることが述べられている[1]。

クネーザーの定理の内容を確かめるための例として、

${\displaystyle q(x)=\left({\frac {1}{4}}-a\right)x^{-2}\quad {\text{for}}\quad x>0}$

である場合を考える。ただし ${\displaystyle a}$ はゼロでない実数とする。今、

${\displaystyle \limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)=\liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)={\frac {1}{4}}-a}$

が成立するため、定理にしたがうと、解が振動的か非振動的かという点は、${\displaystyle a}$ が正である（非振動的）か負である（振動的）かという点に依存することが分かる。

この ${\displaystyle q(x)}$ の選び方に対する解を見つけ、この例に対する定理の成立を確かめるために、

${\displaystyle y(x)=x^{n}\,}$

の形状の解を代入する。すると、

${\displaystyle n(n-1)+{\frac {1}{4}}-a=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-a=0}$

が得られるが、これは（ゼロでない ${\displaystyle a}$ に対し）一般解が

${\displaystyle y(x)=Ax^{{\frac {1}{2}}+{\sqrt {a}}}+Bx^{{\frac {1}{2}}-{\sqrt {a}}}}$

で与えられることを意味する。ここで ${\displaystyle A}$ と ${\displaystyle B}$ は任意定数である。

正の ${\displaystyle a}$ に対して解が非振動的であることを確かめることは難しくない。一方、負の ${\displaystyle a=-\omega ^{2}}$ に対しては、等式

${\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}\pm i\omega }={\sqrt {x}}\ e^{\pm (i\omega )\ln {x}}={\sqrt {x}}\ (\cos {(\omega \ln x)}\pm i\sin {(\omega \ln x)})}$

が成り立つことから、解が振動的であることが確かめられる。

この例より、一般的な結果としてスツルム＝ピコーンの比較定理が成立する。

この結果には多くの拡張が存在する。近年の成果として、参考文献 [2] を参照されたい。