クリロフ＝ボゴリューボフの定理

定理（クリロフ＝ボゴリュボフ）. (X, T) をあるコンパクト距離化可能位相空間とし、F : X → X をある連続写像とする。このとき、F はある不変なボレル確率測度を許すものである。

すなわち、X の開部分集合の集まり T によって生成されるボレル σ-代数を Borel(X) と表すとき、任意の部分集合 A ∈ Borel(X) に対して

${\displaystyle \mu \left(F^{-1}(A)\right)=\mu (A)}$

を満たすようなある確率測度 μ : Borel(X) → [0, 1] が存在する。押し出し測度について言えば、このことは

${\displaystyle F_{*}(\mu )=\mu \ }$

を意味する。

X をポーランド空間とし、${\displaystyle P_{t},t\geq 0,}$ を X 上の時間同次なマルコフ半群についての移動確率とする。すなわち、

${\displaystyle \Pr[X_{t}\in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A)}$

が成立する。

定理（クリロフ＝ボゴリュボフ）. ある点 ${\displaystyle x\in X}$ に対して、確率測度の族 { P_t(x, ·) | t > 0 } が一様に緊密となり、半群 (P_t) がフェラーの性質を満たすなら、(P_t) に対して少なくとも一つの不変測度が存在する。すなわち、X 上の確率測度 μ で

${\displaystyle (P_{t})_{\ast }(\mu )=\mu {\mbox{ for all }}t>0}$

を満たすようなものが存在する。