クローソン点

ユークリッド幾何学において、クローソン点(くろーそんてん,Clawson point)とは、α, β, γを三角形ABCのそれぞれの角とし、三線座標でtan α : tan β : tan γと表される、三角形の中心の一つである[1]。1925年、「American Mathematical Monthly」で ジョン・ウェントワース・クローソンにちなんで名付けられた。 クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(19)として登録されている[2]。

定義

クローソン点の定義はいくつかの三角形の配景として知られている。うち、2つの方法を紹介する。

一つ目の方法
方法1:相似の中心 三角形HAHBHCは垂足三角形。三角形TATBTCは傍接円の、三角形ABCの辺でない、共通接線が成す三角形。三角形HAHBHCと三角形TATBTCの相似の中心はクローソン点である。

△ABCに対し、△HAHBHC を垂足三角形、△TATBTCを傍接円の△ABCの辺でない共通接線が成す三角形(外接線三角形,extangents triangle)とする。△TATBTC,△HAHBHCは相似で、その相似の中心はクローソン点である。つまり、TAHA, TBHB, TCHCはクローソン点で交わる[3]。

二つ目の方法
方法2:配景の中心 青い三角形 は外接円と傍接円の根軸の成す三角形。三角形ABCと三角形A'B'C'の配景の中心はクローソン点である。

△ABCについてそれぞれ3つの傍接円と外接円の交点を結ぶ3つの直線の成す三角形(Ayme triangle[4])を△A'B'C'とする。三角形ABCと三角形A'B'C'の配景の中心はクローソン点である。つまりAA', BB', CC'はクローソン点で交わる。

歴史

クローソン点は1925年、American Mathematical Monthlyの問題3132でJ. W. クローソンが幾何的な定義を発表したことにちなんで名付けられた[5]。 しかし、フランスの数学者エミール・ルモワーヌは、1886年にすでにこの点を発見していた[6]。その後、1983年にR.LynessとG.R.Veldkampによって独自に再発見され、カナダの数学雑誌『Crux Mathematicorum』に問題682として掲載されたことから、Crucial Pointと呼ばれるようになった[7]。

出典
  1. Weisstein, Eric W.. “Clawson Point” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月15日閲覧。
  2. “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月15日閲覧。
  3. Kimberling, Clark (1994). “Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle”. Mathematics Magazine 67 (3): 163–187. doi:10.2307/2690608. ISSN 0025-570X. https://www.jstor.org/stable/2690608.
  4. “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part3 X3610”. faculty.evansville.edu. 2024年4月21日閲覧。
  5. Clawson, J. W.; Goldberg, Michael (1926). “3132”. The American Mathematical Monthly 33 (5): 285–285. doi:10.2307/2299573. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2299573.
  6. “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月15日閲覧。
  7. “CLAWSON POINT”. faculty.evansville.edu. 2024年3月15日閲覧。

外部リンク
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