クンマー理論

クンマー拡大(Kummer extension)とは、ある与えられた整数 n > 1 に対し次の条件を満たすような体の拡大 L/K のことを言う。

• K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xⁿ−1 の根）を含む。
• L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。

例えば、n = 2 のとき、第一の条件は、K の標数が 2 でないときはいつも満たされる。この場合のクンマー拡大の例は、a ∈ K が平方数でないときの二次拡大(quadratic extensions) ${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$ である。二次方程式の通常の解法により、K の任意の 2 次拡大はこの形を持つ。この場合のクンマー拡大は、双二次拡大(biquadratic extensions)や、さらに一般的な多二次拡大(multiquadratic extensions)を含む。K が標数 2 の場合は、そのようなクンマー拡大は存在しない。

n = 3 とすると、3つの 1 の立方根に対して複素数が必要となるので、有理数体 Q の次数 3のクンマー拡大は存在しない。a を有理数体において立方数でない数とし、L を Q 上の X³ − a の分解体とすると、L は 1 の 3つの立方根をもつ部分体 K を含んでいる。なぜなら α と β をその3次多項式の根としたとき、(α/β)³ =1 であり、この3次多項式は分離多項式であるためである。従って、L/K はクンマー拡大である。

より一般的に、K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含む（このことは K の標数が n を割らないことを意味する）とき、K に添加すると、K の任意の元 a の n 乗根は（n を割るようなある m が存在し、次数 m の）クンマー拡大をなす。ここでできる体は多項式 Xⁿ − a の分解体であるため、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回群となる。${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ の係数となる 1 の冪根を通してガロア作用を追いかけることは容易である。

クンマー理論(Kummer theory)は逆の命題をもたらす。K が n 個の異なる 1 の n 乗根を持っているとすると、exponent が n を割るような K の任意のアーベル拡大は、K の元の冪根をとることにより作られる。さらに、K^× で K のゼロではない元全体のなす乗法群を表すとすると、exponent が n である K のアーベル拡大は、

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n}}$

の、つまり n 乗べきを法とした K^× の元全体のなす群の部分群に全単射で対応する。対応関係は次のように明確に記述することができる。部分群

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n}}$

が与えられると、対応する体の拡大は

${\displaystyle K(\Delta ^{1/n})}$

で与えられる。ここで、

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}}$

とする。実際には、群 Δ の任意の生成集合について、それぞれの元から代表をひとつとって、その n 乗根を添加すれば十分である。 逆に、L を K のクンマー拡大とすると、Δ は

${\displaystyle \Delta =K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}}$

という規則により復元される。

この場合には、同型

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

が、

${\displaystyle a\mapsto {\biggl (}\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}{\biggr )}}$

により与えられる。ここに、α は L の元 a の n 乗根である。また ${\displaystyle \mu _{n}}$ は 1 の n 乗根がなす乗法群であり、 K に含まれる。また ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$ は ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ にクルル位相を入れた位相群から ${\displaystyle \mu _{n}}$ に離散位相を入れた位相群への連続群準同型全体のなす群である。 (群の演算は各点での掛け算で与えられる。) この群に離散位相を入れたものは ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ のポントリャーギン双対とみなすこともできる (${\displaystyle \mu _{n}}$ を円周群の部分群とみなせば)。もし拡大 L/K が有限次拡大であれば、${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ は有限離散群であり、同型

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

が得られる。ここで、最後の同型は自然ではない。

G を射有限群、A を G-加群とし、π を A からそれ自身への全射準同型とする。また G は π の核 C 上に自明な作用をしていて、1次コホモロジー群 H¹(G,A) は自明とすると、群コホモロジーの完全系列により、A^G/π(A^G) と Hom(G,C) との間に同型が存在することがわかる。

クンマー理論は、A が体 k の分離閉包の乗法的群であり、G がガロア群であり、π が n 乗写像で、C が単元の n 乗根の群である場合である、これの特別な場合である。アルティン・シュライアー理論は、正の標数 p の体 k の分離閉包の加法群で、G をガロア群、π をフロベニウス写像から恒等写像を引いたもの、C を位数 p の有限体とした特別な場合である。A を省略されたヴィットベクトル(truncated Witt vector)の環とすれば、exponent が pⁿ を割る拡大に対するヴィットによるアルティン・シュライアー理論の一般化が得られる。

• 二次体

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Kummer extension”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Kummer_extension
• Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 85–93.