コンウェイの記法 (幾何学)

幾何学において、コンウェイの記法（コンウェイのきほう、英:Conway notation, Conway triangle notation）はジョン・ホートン・コンウェイにちなんで名付けられた、代数的な三角関数の表記法である[1][2]。三角形の辺の長さをそれぞれ a, b, c 、それに対応する角をそれぞれA, B, C とする。コンウェイの記法は以下のような式を簡潔にまとめることに用いられる[3]。

以降は下の式で、

$\sum _{\text{cyclic}}f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$

のように、後ろ2つの文字に関する対称式 $f$ の和を指すとする。

記法

S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C\,

ここでSは三角形の2倍の面積である。

S_{\varphi }=S\cot \varphi .\,

は特定の面積を表すのに用いられる。例えば

S_{A}=S\cot A=bc\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}}\,

S_{B}=S\cot B=ac\cos B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\,

S_{C}=S\cot C=ab\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}}\,

S_{\omega }=S\cot \omega ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\,

ここで、

\omega \,

はブロカール角である。

S_{\frac {\pi }{3}}=S\cot {\frac {\pi }{3}}=S{\frac {\sqrt {3}}{3}}\,

倍角・半角の公式

S_{2\varphi }={\frac {S_{\varphi }^{2}-S^{2}}{2S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\frac {\varphi }{2}}=S_{\varphi }+{\sqrt {S_{\varphi }^{2}+S^{2}}}\,

ただし

0<\varphi <\pi \,

加法定理

S_{\vartheta +\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }-S^{2}}{S_{\vartheta }+S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\vartheta -\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }+S^{2}}{S_{\varphi }-S_{\vartheta }}}\,.

$S_{\vartheta }S_{\varphi }=S_{\vartheta \varphi }\,$ 、 $S_{\vartheta }S_{\varphi }S_{\psi }=S_{\vartheta \varphi \psi }$ と書くと以下の等式が成り立つ。

\sin A={\frac {S}{bc}}={\frac {S}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \cos A={\frac {S_{A}}{bc}}={\frac {S_{A}}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \tan A={\frac {S}{S_{A}}}\,

a^{2}=S_{B}+S_{C}\quad \quad b^{2}=S_{A}+S_{C}\quad \quad c^{2}=S_{A}+S_{B}\,.

\sum _{\text{cyclic}}S_{A}=S_{\omega }

S_{BC}=S_{B}S_{C}=S^{2}-a^{2}S_{A}\quad \quad S_{AC}=S_{A}S_{C}=S^{2}-b^{2}S_{B}\quad \quad S_{AB}=S_{A}S_{B}=S^{2}-c^{2}S_{C}\,

\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}a^{4}=2(S_{\omega }^{2}-S^{2})\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}S_{A}^{2}=S_{\omega }^{2}-2S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}b^{2}c^{2}=S_{\omega }^{2}+S^{2}\,.

コンウェイの恒等式

下の二式はコンウェイの恒等式と呼ばれる[1]。

S^{2}=b^{2}c^{2}-S_{A}^{2}=a^{2}c^{2}-S_{B}^{2}=a^{2}b^{2}-S_{C}^{2}

$S^{2}=S_{AB}+S_{BC}+S_{CA}=S_{BC}+a^{2}S_{A}={\frac {1}{2}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}={\frac {1}{2}}(a^{2}S_{A}+b^{2}S_{B}+c^{2}S_{C})$

その他

R を外接円の半径とするとabc=2SRが成り立つ。また、r を内接円の半径、sを半周長とすると、 $s={\frac {a+b+c}{2}},a+b+c={\frac {S}{r}}$ が成り立つ。

S_{ABC}=S_{A}S_{B}S_{C}=S^{2}(S_{\omega }-4R^{2})\quad \quad S_{\omega }=s^{2}-r^{2}-4rR\,

\sin A\sin B\sin C={\frac {S}{4R^{2}}}\quad \quad \cos A\cos B\cos C={\frac {S_{\omega }-4R^{2}}{4R^{2}}}

\sum _{\text{cyclic}}\sin A={\frac {S}{2Rr}}={\frac {s}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}\cos A={\frac {r+R}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}\tan A={\frac {S}{S_{\omega }-4R^{2}}}=\tan A\tan B\tan C\,.

応用

コンウェイの記法の用例を見てみよう。

二点P,Qの三線座標をそれぞれp_a: p_b: p_c , q_a: q_b: q_c とし、また、K_p = ap_a + bp_b + cp_c ,K_q = aq_a + bq_b + cq_cなどと書く。二点の距離Dについて、以下の式が成り立つ。

D^{2}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {p_{a}}{K_{p}}}-{\frac {q_{a}}{K_{q}}}\right)^{2}\,.

この公式にPを垂心、Qを外心として当てはめてみよう。 p_a=aS_A ,q_a=S_BS_C/aが成り立つので、

K_{p}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}=2S^{2}\quad \quad K_{q}=\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}=S^{2}\,.

{\begin{aligned}D^{2}&{}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {aS_{A}}{2S^{2}}}-{\frac {S_{B}S_{C}}{aS^{2}}}\right)^{2}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{4}S_{A}^{3}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}+{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}(S^{2}-S_{B}S_{C})-2(S_{\omega }-4R^{2})+(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}c^{2}-S^{2})-{\frac {1}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {3a^{2}b^{2}c^{2}}{4S^{2}}}-{\frac {1}{4}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}-{\frac {3}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}=3R^{2}-{\frac {1}{2}}S_{\omega }-{\frac {3}{2}}S_{\omega }+6R^{2}\\&{}=9R^{2}-2S_{\omega }.\end{aligned}}

このようにして、外心と垂心の距離を求めることができた[4]。

OH={\sqrt {9R^{2}-2S_{\omega }\,}}.

参考文献

『数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何をめぐる船旅』日本評論社、2/15、182頁。
“ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月25日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Conway Triangle Notation” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月25日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Orthocenter” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月1日閲覧。

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[:0-1] 『数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何をめぐる船旅』日本評論社、2/15、182頁。

[2] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月25日閲覧。

[3] Weisstein, Eric W.. “Conway Triangle Notation” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月25日閲覧。

[4] Weisstein, Eric W.. “Orthocenter” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月1日閲覧。