シュタイナー・レームスの定理

等しい長さの2つの角の二等分線を有する全ての三角形は二等辺三角形である。

△ABCで、AB = c, BC = a, CA = b とする。

∠Cの二等分線をCE、∠Bの二等分線をBDとすると、角の二等分線の性質より、

${\displaystyle BD^{2}=ac-AD\cdot CD}$

${\displaystyle CE^{2}=ab-AE\cdot BE}$

${\displaystyle AD={\dfrac {bc}{a+c}}}$

${\displaystyle DC={\dfrac {ab}{a+c}}}$

${\displaystyle AE={\dfrac {bc}{a+b}}}$

${\displaystyle EB={\dfrac {ac}{a+b}}}$

以上より、BD = CEのとき、

${\displaystyle ac-{\dfrac {ab^{2}c}{(a+c)^{2}}}=ab-{\dfrac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}}$

である。

つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}ac-{\frac {ab^{2}c}{(a+c)^{2}}}&=ab-{\frac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}\\b+{\frac {b^{2}c}{(a+c)^{2}}}&=c+{\frac {bc^{2}}{(a+b)^{2}}}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b)^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+c)^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c-c)^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c-b)^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c)^{2}-2b^{2}c^{2}(a+b+c)+b^{2}c^{3}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c)^{2}-2b^{2}c^{2}(a+b+c)+b^{3}c^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c)^{2}-b^{3}c^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{3}\\b((a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2})&=c((a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2})\\b&=c\\\end{aligned}}}$

但し、

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2}\\&=((a+b)(a+c))^{2}-b^{2}c^{2}+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)((a+b)(a+c)-bc)+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)(a^{2}+a(b+c)+bc-bc)+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)(a^{2}+a(b+c))+bc(a+b+c)^{2}\\&\neq 0\end{aligned}}}$

である。これは示されるべきことであった。

• 定理の概要-証明