ソファ問題

通路の幅が1であるとき、半径1の半円はL字型の通路を通すことができるので、Aの下界の一つとして ${\displaystyle A\geq {\frac {\pi }{2}}\approx 1.5707}$ が容易に得られる。

ジョン・ハマーズレイはより優れたAの下界の一つを発見した。${\displaystyle 1\times {\frac {4}{\pi }}}$の長方形の両脇に半径1の四分円を接合させた図形から、直径 ${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}}$ の半円をくりぬいた受話器型のソファで、${\displaystyle A\geq {\frac {\pi }{2}}+{\frac {2}{\pi }}\approx 2.2074}$ となる[1][2]。

18の線からなるジャーバーのソファー

1992年にジョセフ・ジャーバー（Joseph Gerver）によって、18の線（3の直線と15の曲線）からなる図形により、さらに優れたAの下界の一つ 2.219531669... が示された[3][4]。

一方、A の上界については、ハマーズレイによる簡単な議論によって高々 ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.8284}$ であることが示されていた[5][6]。

2017年6月にYoav KallusとDan Romikは新しい上界として、2.37を証明している[7]。