チェビシェフ多項式

第一種チェビシェフ多項式（英: Chebyshev polynomials of the first kind）は、以下の式で定義される[1]:

T_{n}(x)=\cos(nt),

ただし x = cos t

最初の5つの第一種チェビシェフ多項式 T_n(x), (−1≤x≤+1, n=0,...,4)

これは三角多項式（trigonometric polynomial）、直交多項式の一例である[1]。

これはcos(kt)をコサインの加法定理を用いてcos(t)の多項式で表したものと見ることができる。

{\begin{aligned}\cos 1t&=\cos t,\\\cos 2t&=2\cos ^{2}t-1,\\\cos 3t&=4\cos ^{3}t-3\cos t,\dots \end{aligned}}

従って、以下の式を得る。

{\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\\T_{1}(x)&=x,\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1,\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x,\dots \end{aligned}}

これらの多項式は次の三項漸化式に従うことがわかる。

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)

（ただしn = 1, 2, …）

最初の5つの第二種チェビシェフ多項式 U_n(x), (−1≤x≤+1, n=0,...,4)

第二種チェビシェフ多項式（英: Chebyshev polynomials of the second kind）は $U_{n-1}(\cos t)=\sin nt/\sin t$ によって定義される。これは先ほどと同様の議論または $nU_{n-1}(t)=T'_{n}(t)$ の関係を用いれば類似した多項式と見ることができる。

従って、最初の数個を列挙すれば以下のようになる。

{\begin{aligned}U_{0}(x)&=1,\\U_{1}(x)&=2x,\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1,\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x,\dots \end{aligned}}

T と同じ三項漸化式が U にも成りたち、

U_{n+1}(x)\;=\;2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)

（ただしn = 1, 2, …）

となる。

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性質

次の母関数により定義される[1]：

\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}

\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}

次の常微分方程式（チェビシェフの微分方程式）を満たす[1]：

(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\quad {\text{ for }}y=T_{n}(x)

(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\quad {\text{ for }}y=U_{n}(x)

多項式

チェビシェフ多項式はゲーゲンバウアー多項式の特別な場合である[2]。

$T_{n}(x)={\frac {n}{2}}\lim _{\nu \to 0}\Gamma (\nu )C_{n}^{(\nu )}(x)$

特に、 $T_{n}$ は $n$ 次多項式であり、最高次の項の係数は $n\geq 1$ のとき $2^{n-1}$ である[3]。また偶奇性

$T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)$

を持つ[4]。

零点と極値

第1種チェビシェフ多項式 $T_{n}(x)$ は区間 $(-1,+1)$ に $n$ 個の零点を持つ。その座標は

$x_{k}=\cos {\frac {2k+1}{2n}}\pi \quad (k=0,1,\dots ,n-1)$

である[3]。これをチェビシェフノードと呼ぶ。

$T_{n}(x)$ ( $n\geq 1$ ) は区間 $[-1,+1]$ に $n+1$ 個の極値点を持ち（そのうちの二点は区間の両端）、その座標は

$x'_{k}=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad (k=0,1,\dots ,n)$

である[3]。またその極点値は $T_{n}(x'_{k})=(-1)^{k}$ を満たす[3]。従ってチェビシェフ多項式の区間 $[-1,+1]$ での一様ノルムは $1$ である。

直交性

第1種チェビシェフ多項式は区間 $[-1,1]$ , 重み $w(x)=1/{\sqrt {1-x^{2}}}$ に関する直交多項式である。すなわち、直交関係

$\int _{-1}^{+1}T_{n}(x)T_{m}(x){\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=N_{n}\delta _{nm}$

を満足する[5]。ただし $N_{0}=\pi$ , $N_{n}=\pi /2$ ( $n\geq 1$ ) である。同様に、第2種チェビシェフ多項式は区間 $[-1,1]$ , 重み $w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ に関する直交多項式であり、直交関係

$\int _{-1}^{+1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{nm}$

を満足する[6]。

また、第1種チェビシェフ多項式について離散的な直交関係が知られている。 $x_{k}$ を $T_{n}(x)$ ( $n\geq 1$ ) の $n$ 個の零点とするとき, $i,j<n$ に対して離散直交関係

$\sum _{k=0}^{n-1}T_{i}(x_{k})T_{j}(x_{k})=K_{i}\delta _{ij}$

が成立する[7]。ただし $K_{0}=n$ , $K_{i}=n/2$ ( $i\geq 1$ ) である。この性質はチェビシェフ補間において有用である[8]。

漸化式

微分を含む漸化式[9]

$(1-x^{2})T'_{n}(x)=n\left[xT_{n}(x)-T_{n+1}(x)\right]$

乗法関係[9]

$2T_{n}(x)T_{m}(x)=T_{n+m}(x)+T_{|n-m|}(x)$

応用

チェビシェフ補間

「多項式補間」も参照

共役勾配法の誤差限界

詳細は「共役勾配法」を参照

数値線形代数における共役勾配法の誤差限界はチェビシェフ多項式を用いて表されることが示されている[10]。

ガウス-チェビシェフ公式

詳細は「ガウス求積」を参照

ガウス-チェビシェフ公式はチェビシェフ多項式の零点を用いる数値積分公式であり、ガウス求積の一種である[11]。

クレンショ―＝カーティス求積

チェビシェフ多項式を用いる数値積分法の一種である[12][13][14]。

出典

時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版、2006年。
岩波数学公式III, p. 86.
Gil, Segura & Temme, p. 57.
岩波数学公式III, p. 88.
岩波数学公式III, p. 90.
“Classical Orthogonal Polynomials”. 2021年1月21日閲覧。
Gil, Segura & Temme, p. 59.
Gil, Segura & Temme, p. 64.
Gil, Segura & Temme, p. 58.
Axelsson, O., & Barker, V. A. (1984). Finite element solution of boundary value problems: theory and computation. SIAM.
Weisstein, Eric W. "Chebyshev-Gauss Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Chebyshev-GaussQuadrature.html
C. W. Clenshaw and A. R. Curtis "A method for numerical integration on an automatic computer en:Numerische Mathematik 2, 197 (1960).
Trefethen, Lloyd N. (2008). "Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis?". SIAM Review. 50 (1): 67–87. CiteSeerX 10.1.1.157.4174. doi:10.1137/060659831.
J. P. Imhof, "On the Method for Numerical Integration of Clenshaw and Curtis", en:Numerische Mathematik 5, p. 138-141 (1963).

参考文献

森口繁一、宇田川銈久、一松信『岩波数学公式III 特殊函数』岩波書店、1987年。ISBN 4-00-005509-7。
Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme (2007). Numerical Methods for Special Functions. Society for Industrial and Applied Mathematics. doi:10.1137/1.9780898717822. ISBN 978-0-89871-634-4
Mason, John; Handscomb, David (2003). Chabyshev Polynomials. Chapman & Hall/CRC. ISBN 0-8493-0355-9

外部リンク

『チェビシェフ多項式』 - 高校数学の美しい物語
チェビシェフ多項式の計算法
チェビシェフの多項式とn倍角の公式
チェビシェフの多項式
チェビシェフの多項式の実装
Weisstein, Eric W. "Chebyshev Polynomial of the First Kind". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Chebyshev Polynomial of the Second Kind". mathworld.wolfram.com (英語).
J. C. Mason: "Chebyshev polynomials of the second, third and fourth kinds in approximation, indefinite integration, and integral transforms", Journal of Compuational and Applied Mathematics vol.49 (1993) pp.169-178.

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[sp-1] 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版、2006年。

[2] 岩波数学公式III, p. 86.

[#1-3] Gil, Segura & Temme, p. 57.

[4] 岩波数学公式III, p. 88.

[5] 岩波数学公式III, p. 90.

[6] “Classical Orthogonal Polynomials”. 2021年1月21日閲覧。

[7] Gil, Segura & Temme, p. 59.

[8] Gil, Segura & Temme, p. 64.

[#2-9] Gil, Segura & Temme, p. 58.

[10] Axelsson, O., & Barker, V. A. (1984). Finite element solution of boundary value problems: theory and computation. SIAM.

[11] Weisstein, Eric W. "Chebyshev-Gauss Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Chebyshev-GaussQuadrature.html

[12] C. W. Clenshaw and A. R. Curtis "A method for numerical integration on an automatic computer en:Numerische Mathematik 2, 197 (1960).

[13] Trefethen, Lloyd N. (2008). "Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis?". SIAM Review. 50 (1): 67–87. CiteSeerX 10.1.1.157.4174. doi:10.1137/060659831.

[14] J. P. Imhof, "On the Method for Numerical Integration of Clenshaw and Curtis", en:Numerische Mathematik 5, p. 138-141 (1963).

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