ディリクレ積分

ディリクレ積分

f(z) = e^iz/z の積分を考える。0 < r < R をとり、図のように経路 C_r, C_R を定める（赤領域を左に見るように進む向きを正とする）。f は赤領域で正則であるから、コーシーの積分定理により

${\displaystyle \int _{C_{R}}{\frac {e^{iz}}{z}}\,dz+\int _{-R}^{-r}{\frac {e^{ix}}{x}}\,dx+\int _{C_{r}}{\frac {e^{iz}}{z}}\,dz+\int _{r}^{R}{\frac {e^{ix}}{x}}\,dx=0\qquad \cdots (1)}$

となる。

まず、左辺第2項と第4項はオイラーの公式により

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-R}^{-r}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx+\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx&=-\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{-ix}}{x}}dx+\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx\\&=2i\int _{r}^{R}{\dfrac {\sin x}{x}}dx.\ \ \cdots (2)\end{aligned}}}$

次に${\displaystyle C_{R}}$についての周回積分は${\displaystyle R\rightarrow \infty }$でゼロとなることを示す。(ジョルダンの補題)

置換 ${\displaystyle z=Re^{it}}$ により、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|&=\left|\int _{0}^{\pi }f(Re^{it})iRe^{it}dt\right|\\&\leq \int _{0}^{\pi }|f(Re^{it})|R\,dt=\int _{0}^{\pi }e^{-R\sin t}dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-R\sin t}dt\\&\leq 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-2Rt/\pi }dt\quad \left(\because \ \ t\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\ \Longrightarrow \ {\dfrac {2}{\pi }}t\leq \sin t\right)\\&={\frac {\pi }{R}}(1-e^{-R})\to 0\quad (R\to \infty ).\ \ \cdots (3)\end{aligned}}}$

また、${\displaystyle C_{r}}$についての周回積分は${\displaystyle r\to 0}$で${\displaystyle -i\pi }$となることを示す。（留数定理）

${\displaystyle z\neq 0}$ のとき、指数関数 ${\displaystyle e^{z}}$ の定義により、

${\displaystyle {\frac {e^{iz}}{z}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(iz)^{n}}{n!}}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {i^{n}}{n!}}z^{n-1}.}$

${\displaystyle g(z):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}z^{n-1}}$ とおくと、

${\displaystyle \int _{C_{r}}{\dfrac {e^{iz}}{z}}dz=\int _{C_{r}}{\dfrac {1}{z}}dz+\int _{C_{r}}g(z)dz.}$

ここで、置換 ${\displaystyle z=re^{it}}$ により、

${\displaystyle \int _{C_{r}}{\dfrac {1}{z}}dz=\int _{\pi }^{0}{\dfrac {1}{re^{it}}}ire^{it}dt=i\int _{\pi }^{0}dt=-i\pi .}$

次に、 ${\displaystyle \int _{C_{r}}g(z)dz\to 0\ \ (r\to 0)}$ を示そう。g は整関数、とくにコンパクト集合 ${\displaystyle K:=\{z\$ ;\ |z|\leq 1\}} で連続だから、ワイエルシュトラスの最大値定理を使うと、

${\displaystyle {}^{\exists }M>0,\ {}^{\forall }z\in K\$ ;\ |g(z)|\leq M.}

${\displaystyle r}$ を十分小さくとれば、経路 ${\displaystyle C_{r}}$ （の像）は K に含まれるから、

${\displaystyle \left|\int _{C_{r}}g(z)dz\right|\leq \int _{C_{r}}|g(z)||dz|\leq M\int _{C_{r}}|dz|=M\pi r\to 0\ \ (r\to 0).\ \ \cdots (4)}$

以上より、(1) において ${\displaystyle r\to 0,\ R\to \infty }$ とすれば、(2)～(4)より

${\displaystyle 0+2i\int _{0}^{\infty }{\dfrac {\sin x}{x}}dx-i\pi =0}$

すなわち

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {\sin x}{x}}dx={\dfrac {\pi }{2}}}$

が従う。

• 高橋, 礼司『複素解析』東京大学出版会〈基礎数学8〉、1990年。ISBN 978-4-13-062106-9。