トレミーの定理

計算の便宜をはかり、a = AD, b = AB, c = BC, d = DC とおくことにする。また、A = ∠A = ∠DAB, B = ∠B = ∠ABC, C = ∠C = ∠BCD, D = ∠D = ∠CDA のこととする。

余弦定理および内接四角形の性質より、

${\displaystyle BD^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos A}$、

${\displaystyle BD^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C=c^{2}+d^{2}+2cd\cos A}$

が成り立つ。ここから cos A を消去して、

${\displaystyle (ab+cd)BD^{2}=(ad+bc)(ac+bd)}$

を得る。また AC について同様にして

${\displaystyle (ad+bc)AC^{2}=(ab+cd)(ac+bd)}$

となるから、2 式を掛けて

${\displaystyle (ab+cd)(bc+ad)AC^{2}\cdot BD^{2}=(ac+bd)^{2}(ad+bc)(ab+cd)}$

を得る。これを整理すれば、

${\displaystyle AC\cdot BD=ac+bd}$

となる。すなわち、

${\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}$

が示された。

円に関する反転を用いた証明

円に関する反転を用いた証明

Dを中心とする適当な円 ${\displaystyle \Gamma }$ に関する反転 によってABCDの外接円が直線に移されるようにする。 このとき ${\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'}$ が成り立つ。 このとき、一般性を失わずに ${\displaystyle \Gamma }$ の半径を1と置くことができる。 このとき ${\displaystyle A'B',B'C',A'C'}$はそれぞれ以下のように表される。

${\displaystyle {\frac {AB}{DA\cdot DB}},{\frac {BC}{DB\cdot DC}},{\frac {AC}{DA\cdot DC}}}$

この式の両辺に ${\displaystyle DA\cdot DB\cdot DC}$ をかけて最初の式に代入するとトレミーの定理が得られる。

一般化にケイシーの定理がある。

• 高木貞治『復刻版　近世数学史談・数学雑談』共立出版、1996年12月10日。ISBN 978-4-320-01551-7。

• 『トレミーの定理』 - コトバンク
• 『プトレマイオスの定理』 - コトバンク
• 『トレミーの定理とその3通りの証明，応用例』 - 高校数学の美しい物語
• トレミーを散りばめる (PDF)
• Weisstein, Eric W. "Ptolemy's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).