中身の詰まったトーラス

トーラスの媒介変数表示を以下のように与えることができる:

${\displaystyle {\vec {X}}(t,p)={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=R{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}+a{\begin{pmatrix}\cos t\cos p\\\sin t\cos p\\\sin p\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(R+a\cos p)\cos t\\(R+a\cos p)\sin t\\a\sin p\end{pmatrix}}\quad (0\leq a\leq r,0\leq t,p\leq 2\pi ).}$

ソリッドトーラスの体積は、函数行列式（ヤコビ行列の行列式）上の三重積分として計算できる。先の媒介表示に関するヤコビ行列は以下のように陽に書ける:

${\displaystyle J_{f}={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,t,p)}}={\begin{pmatrix}\partial _{a}x&\partial _{p}x&\partial _{t}x\\\partial _{a}y&\partial _{p}y&\partial _{t}y\\\partial _{a}z&\partial _{p}z&\partial _{t}z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t\cos p&-R\sin t-a\sin t\cos p&a\cos t\sin p\\\sin t\cos p&R\cos t+a\cos t\cos p&a\sin t\sin p\\\sin p&0&-a\cos p\end{pmatrix}},}$

ゆえにその行列式は ${\displaystyle \det(J_{f})=a(a\cos p+R)}$ であり、この行列式の値は法ベクトルのノルムに等しい。すなわち、ソリッドトーラスの体積は

${\displaystyle V=\int _{V}dV=\int _{\Gamma }\det(J_{f})d\Gamma =\int _{0}^{2\pi }dt\int _{0}^{2\pi }dp\int _{0}^{r}da~(Ra+a^{2}\cos p)=2\pi ^{2}r^{2}R}$

と計算される。

命題

ソリッドトーラスの体積は ${\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R}$ で与えられる。

この公式を、円板の面積 ${\displaystyle A_{r}=\pi r^{2}}$ と中心軌跡（円周の長さ）${\displaystyle U_{R}=2\pi R}$ を掛けたものと解釈することができる。これは円柱体の体積が ${\displaystyle V_{\text{cylinder}}=\pi r^{2}l}$ であるのと同様である。表面積の計算も同様にできて、ここでは二つの円周 ${\displaystyle U_{r}=2\pi r}$ と ${\displaystyle U_{R}=2\pi R}$ の積に等しい。これもやはり円柱の側面積が ${\displaystyle O_{\text{cylinder}}=2\pi rl}$ であることに対応する。