ドルボーコホモロジー

次数 (p, q) の複素微分形式全体の成すベクトル束を Ω^p,q と書く。ドルボー作用素（定義は複素微分形式の項を参照せよ）は滑らかな切断上の微分作用素

$${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})}$$

として定義される。これは${\textstyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$ を満たすから、適当なコホモロジーが付随する。具体的には商空間

$${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} ):={\frac {\ker({\bar {\partial }}\colon \Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M))}{{\bar {\partial }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1})}}}$$

としてコホモロジーが定義される。

E を複素多様体 X 上の正則ベクトル束とすれば、同様に E の正則切断の成す層 ${\mathcal {O}}(E)$ の細層分解が定義でき、そしてこれは ${\textstyle {\mathcal {O}}(E)}$ の層係数コホモロジーを想起させる。

ドルボーの定理はドラームの定理の複素版[注釈 1]で、ドルボーコホモロジーが正則微分形式の層に関する層係数コホモロジーに同型であることを主張する。

定理 (Dolbeault)

複素多様体 M 上の正則 p-形式全体の成す層を Ω^p と書けば、

$${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})}$$

が成り立つ。

対数的微分形式に対する同様の定理もある[1]。

証明

${\textstyle {\mathcal {F}}^{p,q}}$ を (p, q) 次の C^∞-級複素微分形式全体の成す細層とすれば ∂ に関するポワンカレの補題により系列

$${\displaystyle \Omega ^{p,q}{\stackrel {\overline {\partial }}{{}\to {}}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\stackrel {\overline {\partial }}{{}\to {}}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\stackrel {\overline {\partial }}{{}\to {}}}\dotsb }$$

は完全である。任意の長完全列と同様にこの列を短完全列に分解し、対応するコホモロジーの長完全列を作れば、細層の高次コホモロジーは消えるのだから、所期の結果を得る。

• Dolbeault, P. (1953). “Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes”. C. R. Acad. Sci. Paris 236: 175–277.
• Wells, R.O. (1980). Differential Analysis on Complex Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0

• Dolbeault cohomology in nLab
• Weisstein, Eric W. "Dolbeault Cohomology". mathworld.wolfram.com (英語).