ド・ブランジュ空間

ド・ブランジュ関数 (de Branges function) とは、${\displaystyle \mathbb {C} }$ から ${\displaystyle \mathbb {C} }$ への整関数 E のうち、複素平面の上半平面に属する全ての z について不等式 ${\displaystyle |E(z)|>|E({\bar {z}})|}$ が満たされるものをいう。

あるド・ブランジュ関数 E に対して、ド・ブランジュ空間 B(E) は次を満たす整関数全体と定義される。

${\displaystyle F/E,F^{\#}/E\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$

ここで、

• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} |{\rm {Im(z)}}>0\}}$ は複素平面の上半平面、
• ${\displaystyle F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}}$、
• ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$ は上開半平面上の通常のハーディ空間である。

ド・ブランジュ空間は、次の条件を満す整関数 F 全体として定義することもできる。

• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}\mathrm {d} \lambda <\infty }$
• ${\displaystyle |(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}}$

あるド・ブランジュ空間 B(E) に対し、次の様にスカラー積を定義する。

${\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {\mathrm {d} \lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}}$

このような積を持つド・ブランジュ空間はヒルベルト空間であることを証明できる。

• Christian Remling (2003). “Inverse spectral theory for one-dimensional Schrödinger operators: the A function”. Math. Z. 245: 597–617. doi:10.1007/s00209-003-0559-2.