ハーディ＝リトルウッドの不等式

レイヤーケーキ表現より、次が成り立つ[1][2]

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr}$

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s}\,ds}$。

ここで ${\displaystyle \chi _{f(x)>r}}$ は次の部分集合 E _f の指示函数を表す：

${\displaystyle E_{f}=\left\{x\in X:f(x)>r\right\}.\,}$

同様に ${\displaystyle \chi _{g(x)>s}}$ は次の部分集合 E _g の指示函数を表す。

${\displaystyle E_{g}=\left\{x\in X:g(x)>s\right\}.\,}$

すると、次が成り立つ。

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx=\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\chi _{g(x)>s}\,dr\,ds\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{f(x)>r\cap g(x)>s}\,dx\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(\left\{f(x)>r\right\}\cap \left\{g(x)>s\right\}\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle \leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left(\mu \left(f(x)>r\right);\mu \left(g(x)>s\right)\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left(\mu \left(f^{*}(x)>r\right);\mu \left(g^{*}(x)>s\right)\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(\left\{f^{\ast }(x)>r\right\}\cap \left\{g^{\ast }(x)>s\right\}\right)\,dr\,ds}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx}$

• 再配分不等式
• チェビシェフの和の不等式
• ローレンツ空間

1. Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics. 14 (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0821827833
2. Burchard, Almut. A Short Course on Rearrangement Inequalities. http://www.math.toronto.edu/almut/rearrange.pdf