ハーン多項式

${\displaystyle \alpha ,\beta <-1}$ または ${\displaystyle \alpha ,\beta <-N}$ に対して以下の直交関係を満たす:

${\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-x}{N-x}}Q_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(-1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)_{N+1}(\beta +1)_{n}n!}{(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)_{n}(-N)_{n}N!}}\delta _{mn}.}$

但し、${\displaystyle (a)_{n}}$ はポッホハマーの記号を表す。

以下の漸化式が成り立つ。

${\displaystyle -xQ_{n}(x)=A_{n}Q_{n+1}(x)-(A_{n}+C_{n})Q_{n}(x)+C_{n}Q_{n-1}(x).}$

但し、${\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)}$ を ${\displaystyle Q_{n}(x)}$ と略記し、

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {(n+\alpha +\beta +1)(n+\alpha +1)(N-n)}{(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)}},\\C_{n}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +N+1)(n+\beta )}{(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)}}\end{aligned}}}$

とした。

次の差分方程式を満たす:

${\displaystyle n(n+\alpha +\beta +1)Q_{n}(x)=B(x)Q_{n}(x+1)-(B(x)+D(x))Q_{n}(x)+D(x)Q_{n}(x-1).}$

但し、

${\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&=(x+\alpha +1)(x-N),\\D(x)&=x(x-\beta -N-1).\end{aligned}}}$

ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:

${\displaystyle \omega (x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}(\beta +1)_{n}}{(-N)_{n}}}\nabla ^{n}\omega (x;\alpha +n,\beta +n,N-n).}$

以下の母関数を持つ:

• ${\displaystyle {_{1}F_{1}}\left({\begin{matrix}-x\\\alpha +1\end{matrix}};-t\right){_{1}F_{1}}\left({\begin{matrix}x-N\\\beta +1\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}}$
• ${\displaystyle {_{2}F_{0}}\left({\begin{matrix}-x,-x+\beta +N+1\\-\end{matrix}};-t\right){_{2}F_{0}}\left({\begin{matrix}x-N,x+\alpha +1\\-\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}(\alpha +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}}$
• ${\displaystyle \left[(1-t)^{-\alpha -\beta -1}{_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +2),-x\\\alpha +1,-N\end{matrix}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +\beta +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}}$

変数 ${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle n}$ を交換することによって双対ハーン多項式 ${\displaystyle R_{x}(\lambda (n);\alpha ,\beta ,N)}$ が得られる:

${\displaystyle Q_{x}(n;\alpha ,\beta ,N)=R_{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,N).}$