バーンスタイン多項式

n 次のバーンスタイン基底関数は

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu },\qquad \nu =0,\ldots ,n.}$

（ここで ${\displaystyle {n \choose \nu }}$ は二項係数）として与えられる。

n 次のバーンスタイン基底関数は、n 次以下の多項式からなるベクトル空間の基底をなす[1]。

バーンスタイン基底関数の線形結合によって与えられる

${\displaystyle B(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}$

は、n 次のバーンスタイン多項式と呼ばれる。また係数 β_ν はバーンスタイン係数、またはベジェ係数と呼ばれる。

バーンスタイン基底関数は以下のような式となる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&b_{0,0}(x)=1&&&&\\&b_{0,1}(x)=1-x&&b_{1,1}(x)=x&&\\&b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}&&b_{1,2}(x)=2x(1-x)&&b_{2,2}(x)=x^{2}\end{aligned}}}$

バーンスタイン基底関数は以下のような特性を持つ。

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$, if ν < 0 or ν > n
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$ and ${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$（ここで ${\displaystyle \delta }$ はクロネッカーのデルタ関数）
• ν ≠ 0 の時、${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$ は x = 0 に解を持つ
• ν ≠ n の時、${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$ は x = 1 に解を持つ
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ ≥ 0 for x in [0,1]
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(1-x)=b_{n-\nu ,n}(x)}$
• 導関数は2つの低次な多項式により与えられる

${\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right)}$

• n ≠ 0 の時、${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ は x = ν/n に極大値を持ち、その値は　${\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}(n-\nu )^{n-\nu }{n \choose \nu }}$ となる

• n 次のバーンスタイン基底関数は1の分割をなす

${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu }=(x+(1-x))^{n}=1.}$

• 高次のバーンスタイン基底関数の和としても記述可能

${\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}$

[0, 1] の範囲において連続な関数 f (x) を用いたバーンスタイン多項式

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

は、[0, 1] の範囲で以下のように、一様に収束する。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}$

このことは、各点収束するが一様収束はしないという命題に比べ、より強い命題である。この一様収束は、以下のように明確に示される。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f(x)-B_{n}(f)(x)\right|=0.}$

上述のように、バーンスタイン多項式はストーン＝ワイエルシュトラスの定理の証明にも用いられる。

また、より一般的に、連続な k 次導関数についても、

${\displaystyle \|B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\leq {(n)_{k} \over n^{k}}\|f^{(k)}\|_{\infty }{\text{ and }}\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\rightarrow 0,}$

であることが示せる。ここで ${\displaystyle {(n)_{k} \over n^{k}}=\left(1-{0 \over n}\right)\left(1-{1 \over n}\right)\cdots \left(1-{k-1 \over n}\right)}$ は ${\displaystyle B_{n}}$ の固有値である。

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu }}$

は確率 x で事象 p が起こる試行を n 回繰り返したとき、事象 p がちょうどν回起こる確率を表す。試行をn回繰り返す場合において、p が ν 回起こったときに得られる確率変数をf (ν/n)とすると、

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

は期待値を表す。 一方、n 回試行を繰り返す場合、事象 p が起こる回数は平均して nx である。よって、平均して得られる確率変数、すなわち期待値は f (nx/n) = f (x) であると考えられる。今 ν や n は整数で、x は n を分母とする有理数とは限らないので B_n (f ) (x)と f (x) の誤差も 0 とは限らないが、n を大きくしていくと両者の誤差は 0 に近づいていくと考えられるので、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}$

が成り立つ。

• ベジェ曲線
• 多項式補間
• ニュートン補間
• ラグランジュ補間

• Weisstein, Eric W. "Bernstein Polynomial". mathworld.wolfram.com (英語).
• From Bézier to Bernstein
• BERNSTEIN POLYNOMIALS by Kenneth I. Joy

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