パラノーマル作用素

数学の、特に作用素論の分野におけるパラノーマル作用素（パラノーマルさようそ、英: paranormal operator）とは、正規作用素のある一般化である。より正確に言うと、ある複素ヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素 T がパラノーマルであるとは、

${\displaystyle \|T^{2}x\|\geq \|Tx\|^{2}\,}$

を H 内のすべての単位ベクトル x に対して満たすことを言う。

パラノーマル作用素の類は1960年代に V. Istratescu によって導入されたが、「パラノーマル」という語はおそらく古田によるものである[1][2]。

すべてのハイポノーマル作用素（特に、部分正規作用素、準正規作用素および正規作用素）はパラノーマルである。作用素 T がパラノーマルであるなら、Tⁿ もパラノーマルである[2]。一方 ハルモスは、作用素 T がハイポノーマルであっても T² がハイポノーマルとならない例を見つけた。したがって、すべてのパラノーマル作用素がハイポノーマルということにはならない[3]。

コンパクトなパラノーマル作用素は、正規作用素である[4]。