パリー点

幾何学において、パリー点 (ぱりーてん、Parry point)とは三角形の中心の一つである。クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(111)として登録されている。パリー点及びパリー円は1990年代初期のイギリス幾何学者シリル・パリーの研究を賞して名づけられた[1]。

パリー円

元の三角形

△ ABC

△ ABC

の外接円

アポロニウスの円 (等力点

J, K

で交わる)

パリー円 (

J, K

と重心

G

を通る)

パリー円と外接円はキーペルト放物線の焦点とパリー点で交わる。

$△ABC$ についてその重心と二つの等力点を通る円をパリー円と言う。パリー円は重心座標[x,y,z]で以下の式で表される[2]。

3(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})(a^{2}-b^{2})(a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy)+(x+y+z)\left(\sum _{\text{cyclic}}b^{2}c^{2}(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2})x\right)=0

パリー円の中心はEncyclopedia of Triangle CentersでX(351)として表される。X(351)は三線座標で以下の様に表される。

a(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2}):b(c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-2b^{2}):c(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-2c^{2})

パリー点

$△ABC$ のパリー円は外接円と2点で交わる。うち一つはキーペルト放物線の焦点である[2]。もう一つを $△ABC$ のパリー点という。

パリー点の三線座標は以下の様に表される。

{\frac {a}{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{2b^{2}-c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{2c^{2}-a^{2}-b^{2}}}

キーペルト放物線の焦点X(110)の三線座標は以下の様に表される。

{\frac {a}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {b}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {c}{a^{2}-b^{2}}}

パリー鏡映点

シリル・パリーに関する点の一つにパリー鏡映点（Parry Reflection Point）がある[3]。 $A,B,C$ を通り、オイラー線に平行な直線をそれぞれ $BC,CA,AB$ で鏡映した直線は一点で交わる。この点をパリー鏡映点X(399)と言う。

特徴

パリー鏡映点はノイベルグ三次曲線、フェルマー軸上にある。
第一等力点 $J$ のcirclecevian triangle（ $AJ,BJ,CJ$ と円 $JBC,JCA,JAB$ の $J$ でない方の交点が成す三角形[4]）と、第二等力点のcirclecevian triangleの配景の中心はパリー鏡映点である[5]。
第一フェルマー点、第二等力点、パリー鏡映点、第二ヴェルナウ点は共円である。同様に、第ニフェルマー点、第一等力点、パリー鏡映点、第一ヴェルナウ点は共円である。
三角形の鏡映三角形(Reflection triangle,頂点を対辺で鏡映した三角形[6])を $△A'B'C'$ 、内心と傍心をそれぞれ $I,I a,I b,I c$ とすると、円 $IA'I a,IB'I b,IC'I c,A'I b I c,B'I c I a,C'I a I b$ はパリー鏡映点を通る[7]。
三線座標は、

$f(A,B,C)=5\cos A-4\cos B\cos C-8\sin B\sin C\cos ^{2}A$

として、

$f(A,B,C):f(B,C,A):f(C,A,B)$

で表される。

脚注

Kimberling. “Parry point”. 2012年5月29日閲覧。
Weisstein. “Parry Point”. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. 2012年5月29日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Parry Reflection Point” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月25日閲覧。
“Vu Thanh Tung”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。
“ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(399)”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Reflection Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月25日閲覧。
“On the Euler Reflection Point”. Forum Geometricorum. 2024年4月26日閲覧。

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[1] Kimberling. “Parry point”. 2012年5月29日閲覧。

[:0-2] Weisstein. “Parry Point”. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. 2012年5月29日閲覧。

[3] Weisstein, Eric W.. “Parry Reflection Point” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月25日閲覧。

[4] “Vu Thanh Tung”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。

[5] “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(399)”. faculty.evansville.edu. 2024年4月25日閲覧。

[6] Weisstein, Eric W.. “Reflection Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月25日閲覧。

[7] “On the Euler Reflection Point”. Forum Geometricorum. 2024年4月26日閲覧。

パリー点

パリー円

パリー点

パリー鏡映点

特徴

関連

脚注