ビール予想

例を挙げると、式 ${\displaystyle 3^{3}+6^{3}=3^{5}}$ の各項の底は公約数が 3 、${\displaystyle 7^{3}+7^{4}=14^{3}}$ は 7 、${\displaystyle 2^{n}+2^{n}=2^{n+1}}$ は 2 である。実際、この方程式は底が共通因数を持つ解を無限に多く持ち、上の3つの例の一般化を含めて、それぞれ

${\displaystyle 3^{3n}+[2(3^{n})]^{3}=3^{3n+2},\quad \quad n\geq 1;}$

${\displaystyle [b(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n}+(a^{n}-b^{n})^{kn+1}=[a(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n},\quad \quad a>b,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3;}$

${\displaystyle [a(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}+[b(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}=(a^{n}+b^{n})^{kn+1},\quad \quad a\geq 1,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3}$

と表せる。

さらに、各解（互いに素となる底の有無にかかわらず）に対して、指数の組が同じで、互いに素でない底の組が増えていく解が無限にある。即ち、解に対して

${\displaystyle A_{1}^{x}+B_{1}^{y}=C_{1}^{z}}$

であり、加えて

${\displaystyle A_{n}^{x}+B_{n}^{y}=C_{n}^{z};}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

である。ここで、

${\displaystyle A_{n}=(A_{n-1}^{yz+1})(B_{n-1}^{yz})(C_{n-1}^{yz})}$

${\displaystyle B_{n}=(A_{n-1}^{xz})(B_{n-1}^{xz+1})(C_{n-1}^{xz})}$

${\displaystyle C_{n}=(A_{n-1}^{xy})(B_{n-1}^{xy})(C_{n-1}^{xy+1})}$

である。

ビール予想を解くには、必ず3つの項が含まれ、その全てが3-多冪数、すなわち、全ての素因数の指数が少なくとも3である数となることが必要となる。このような互いに素となる3-多冪数を含む和は無限にあることが知られているが[10]、それは稀である。最小の例は次の2つである。

${\displaystyle {\begin{aligned}271^{3}+2^{3}\ 3^{5}\ 73^{3}=919^{3}&=776{,}151{,}559\\3^{4}\ 29^{3}\ 89^{3}+7^{3}\ 11^{3}\ 167^{3}=2^{7}\ 5^{4}\ 353^{3}&=3{,}518{,}958{,}160{,}000\\\end{aligned}}}$

ビール予想の特徴は、3つの項がそれぞれ1つの冪乗で表現できることを要求していることである。

フェルマーの最終定理は、自然数 A, B, C に対して、${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$ に n > 2 の解がないことを示している。もしフェルマーの最終定理に解が存在するならば、全ての公約数を除けば、互いに素となる自然数の解 A, B, Cが存在することになる。従って、フェルマーの最終定理は、x = y = z に限定されたビール予想の特殊な場合と見ることができる。

フェルマー＝カタラン予想は、A, B, C, x, y, z が自然数であり、A, B, C が互いに素である場合、${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}<1}$ を満足するとき、${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ は有限個の解しか持たないというものである。ビール予想は、「全てのフェルマー＝カタラン予想の解は、2を指数として使用する」と言い換えることができる。

ABC予想は、ビール予想の反例が高々有限個であることを意味する。

この予想を立てた銀行家のアンドリュー・ビールは、発表された証明または反例に対して懸賞金を提供している。懸賞金の額は、1997年の創設時は5千米ドルで、10年かけて5万米ドルまで引き上げた後[3]、100万米ドルまで引き上げられた[4]。

この懸賞金は、アメリカ数学会が信託し[11]、AMS会長が任命するビール賞委員会(BPC)が監督している[12]。

• オイラー予想
• Jacobi–Madden equation
• Prouhet–Tarry–Escott problem
• タクシー数
• Pythagorean quadruple
• 分散コンピューティング
• BOINC

• The Beal Prize office page
• Bealconjecture.com
• Math.unt.edu
• Beal Conjecture - PlanetMath.（英語）
• Mathoverflow.net discussion about the name and date of origin of the theorem