ピタゴラス三体問題

ピタゴラス三体問題の初期条件。

ピタゴラス三体問題の初期条件は、質量比3:4:5の質点を3:4:5の直角三角形の各頂点に配置するものである。質量3の粒子 (第1体) は長さ3の辺の反対の頂点に、質量4の粒子 (第2体) は長さ4の辺の反対の頂点に、質量5の粒子 (第3体) は長さ5の辺の反対の頂点に置かれる。従って、重心を座標原点に選ぶとき、各粒子の初期座標は次のようになる[11]。

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(1,3),\ \ \mathbf {x} _{2}=(-2,-1),\ \ \mathbf {x} _{3}=(1,-1)}$

また、各粒子の速度は初期時刻においてすべてゼロとする。

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{3}=0}$

なお、初期条件 (${\displaystyle t=0}$) においてすべての粒子が速度ゼロであるため、その後の解 ${\displaystyle \mathbf {x} _{a}(t)}$ が計算できれば、それ以前の解はその解を時間反転したものとなる[12]。

この系を三体問題の運動方程式に従って時間発展させると、時刻 ${\displaystyle t=1.879}$ において第2体と第3体が距離 ${\displaystyle r_{23}\sim 10^{-2}}$ で近接散乱し、続いて第3体と第1体が緩やかな散乱 (距離 ${\displaystyle r_{13}=0.6}$) を経たのちに再び時刻 ${\displaystyle t=3.801}$ において第2体と第3体の散乱 (距離 ${\displaystyle r_{23}=6\times 10^{-2}}$ が起きる[13]。このようにこの系は近接散乱を繰り返しながら進化していく。最も天体間の距離が小さくなるのは時刻 ${\displaystyle t=15.830}$ での第2体と第3体の散乱であり、${\displaystyle r_{23}=4\times 10^{-4}}$ である[13]。この最接近の際に第1体の速度がゼロに近い点は特に注目に値する[14]。その結果としてそれ以降の系の進化はそれまでの進化を時間反転した解に近いものとなり、時刻 ${\displaystyle t=31.66}$ には初期条件に近い配位へと回帰するからである[14]。

しかしながら、初期条件との違いのために、それ以降の軌道進化はまず第1体と第3体の散乱が起こるなどまったく異なったものになる[14]。やがて時刻 ${\displaystyle t=47}$ に第1体が大きく弾き飛ばされると第2体と第3体が連星を組む。その後、時刻 ${\displaystyle t=59.4}$ 付近で第1体と第2体-第3体連星がすれ違った後に、第1体は十分な脱出速度を獲得し無限遠へエスケープし、第2体と第3体は連星を組んだまま反対方向へと向かう[9]。

ピタゴラス三体問題は最終的に第2体と第3体が連星を組み第1体は単独でエスケープする[9]。この型の漸近解は、Merman (1958)[15]およびAlekseev (1961)[16]による分類では「elliptic-hyperbolic」と呼ばれるものである[17]。Szebehelyらの論文はこの最終状態に至るまでの軌道を詳細に図示しているが、その軌道の複雑さを目に見える形で示したことにより「三体問題の最終運動予測の難しさが多くの人に理解された」と谷川清隆らは評価している[18]。

なお、三体問題はカオスな系であり、ピタゴラス三体問題は初期値鋭敏性を持つ。Aarsethらによる1994年の研究[19]は、このことを初期条件をわずかに変えたときに最終状態においてエスケープする質点が飛んでいく方向がどのように変化するのかに注目して明白に示したものである。