フェルミオン・ダブリング

連続的な4次元ユークリッド空間において、ゲージ場と相互作用しているフェルミオンの作用を以下のように定義する。

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\bar {\psi }}(x)(\gamma _{\mu }D_{\mu }+m)\psi (x)}$

ここで、${\displaystyle \psi ,{\bar {\psi }}}$はフェルミオン場、γ_μはガンマ行列、${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }}$は共変微分、mはフェルミオンの質量である。

この作用を格子化すると、連続空間における微分演算子は格子上では差分として置き換えられるので、

${\displaystyle S=a^{4}\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left[\sum _{\mu }\gamma _{\mu }{\frac {U_{\mu }(n)\psi _{n+{\hat {\mu }}}-U_{\mu }^{\dagger }(n-{\hat {\mu }})\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}\right]}$

となる。ここで、aは格子間隔、${\displaystyle \psi _{n},{\bar {\psi }}_{n}}$はサイトnに置かれたフェルミオン場、U_μ(n)はサイトnから${\displaystyle {\hat {\mu }}}$方向へ張られるゲージ場のリンク変数である。パラメータを無次元化するために、${\displaystyle m\to M/a}$、${\displaystyle \psi \to a^{-3/2}\psi }$と置き換えると、

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{n,\mu }\left[{\bar {\psi }}_{n}\gamma _{\mu }U_{\mu }(n)\psi _{n+{\hat {\mu }}}-{\bar {\psi }}_{n+{\hat {\mu }}}\gamma _{\mu }U_{\mu }^{\dagger }(n)\psi _{n}\right]+M\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\psi _{n}}$

となる。このように単純な操作で格子化された作用をナイーブな格子フェルミオンの作用という。

簡単のために自由場 (U_μ=1 )として、格子フェルミオンの作用を位置表示から運動量表示へ変換すると、

${\displaystyle S=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\bar {\psi }}(-p)\left[i\gamma _{\mu }\sin {p_{\mu }a}+M\right]\psi (p)}$

となる。この作用から導出される伝播関数は、

${\displaystyle G(p)={\frac {1}{i\sum _{\mu }\gamma _{\mu }\sin {p_{\mu }a}+M}}={\frac {-i\sum _{\mu }\gamma _{\mu }\sin {p_{\mu }a}+M}{\sum _{\mu }\sin ^{2}{p_{\mu }a}+M^{2}}}}$

である。場の量子論における伝播関数の極は粒子の存在を表すから、上式の分母にあるsinは4次元空間において16個のダブラーが存在することを意味している。すなわち、4成分運動量p_μに対して、p＝(0,0,0,0)に加えて、p＝(π/a,0,0,0)、(0,π/a,0,0)、……、(π/a,π/a,π/a,π/a)という計16個の解が存在する。