ブレゼンハムのアルゴリズム

この技法の問題は、error や deltaerr が分数であるためコンピュータでは計算が遅くなる点であり、さらに浮動小数点数を使った場合は加算によって誤差が蓄積していく点である。整数のみを使った方が高速化され正確になる。そこで上の例で分数または小数になっている全ての数（定数0.5も含む）に deltax をかけて整数にするという技法を使う。ただしそうするとメインループ内で除算が必要になる。そのため error の初期値を変更し、初期値を0として0.5を越えるまでカウントアップするのではなく、初期値を0.5（に deltax をかけた値）にし、0になるまでカウントダウンするように変更する。新たなプログラムの擬似コードは次のようになる。

 function line(x0, y0, x1, y1)
     boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     if x0 > x1 then
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     int deltax := x1 - x0
     int deltay := abs(y1 - y0)
     int error := deltax / 2
     int ystep
     int y := y0
     if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
     for x from x0 to x1
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         error := error - deltay
         if error < 0 then
             y := y + ystep
             error := error + deltax

なお、このプログラムは (x0, y0) と (x1, y1) の位置関係がどうであっても描画できるようにしているが、基本形と逆転していると描画順序が反転する。破線を描く場合など描画順序が重要な場合、2つめのswapを排除して次のように簡略化する必要がある。

function line(x0, y0, x1, y1)
     boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     int deltax := abs(x1 - x0) // 修正
     int deltay := abs(y1 - y0)
     int error := deltax / 2
     int ystep
     int y := y0
  
     int inc // 追加
     if x0 < x1 then inc := 1 else inc := -1 // 追加
 
     if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
     for x from x0 to x1 with increment inc // 修正
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         // increment により描画順序が制御される
         error := error - deltay
         if error < 0 then
             y := y + ystep
             error := error + deltax

誤差を両方向同時に計算すれば、初期化部分の swap を排除できる。

 function line(x0, y0, x1, y1)
   dx := abs(x1-x0)
   dy := abs(y1-y0) 
   if x0 < x1 then sx := 1 else sx := -1
   if y0 < y1 then sy := 1 else sy := -1
   err := dx-dy
 
   loop
     setPixel(x0,y0)
     if x0 = x1 and y0 = y1 exit loop
     e2 := 2*err
     if e2 > -dy then 
       err := err - dy
       x0 := x0 + sx
     end if
     if e2 <  dx then 
       err := err + dx
       y0 := y0 + sy 
     end if
   end loop

y=f(x)=.5x+1 or f(x,y)=x-2y+2

正と負の半平面

傾きを係数とする直線の方程式は次のとおりである。

${\displaystyle y=f(x)=mx+b}$

ここで m が傾き、b がy軸上の値（y軸との交点）である。この方程式は x についての関数だが、これを x と y の関数に変換することで扱いやすくする。傾きを ${\displaystyle \Delta y/\Delta x}$ と表し、代数学的変換を施す。

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=mx+b\\y&={\frac {(\Delta y)}{(\Delta x)}}x+b\\(\Delta x)y&=(\Delta y)x+(\Delta x)b\\0&=(\Delta y)x-(\Delta x)y+(\Delta x)b\end{aligned}}}$

この最後の式を x と y の関数として次のように表せる。

${\displaystyle f(x,y)=0=Ax+By+C}$

ここで、各定数は次の通り。

• ${\displaystyle A=\Delta y}$
• ${\displaystyle B=-\Delta x}$
• ${\displaystyle C=(\Delta x)b}$

この場合、直線はA、B、Cという定数で定義され、${\displaystyle f(x,y)=0}$ となる点の集合となる。直線上にない任意の座標 ${\displaystyle (x,y)}$ では ${\displaystyle f(x,y)\neq 0}$ となる。x と y が整数しかとらないなら、定数も全て整数で表され、この式には整数しか関与しないことになる点が重要である。

例えば ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}x+1}$ で表される直線は、${\displaystyle f(x,y)=x-2y+2}$ と書くこともできる。点 (2,2) はこの直線上にある。

${\displaystyle f(2,2)=x-2y+2=(2)-2(2)+2=2-4+2=0}$

また、点 (2,3) は直線上にはない。

${\displaystyle f(2,3)=(2)-2(3)+2=2-6+2=-2}$

点 (2,1) も同様である。

${\displaystyle f(2,1)=(2)-2(1)+2=2-2+2=2}$

(2,1) と (2,3) はこの直線をはさんで反対側にあり、どちら側になるかは f(x,y) の値が正か負かで決まる。すなわち、直線は平面を2つの半平面に分割するものであり、f(x,y) が負になる半平面と正になる半平面が存在する。この性質はアルゴリズムの導出において重要である。

線分の始点は明らかに直線上にある。

${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$

この場合、直線は始点と終点を整数座標で指定することで定義される。

青は候補点 (2,2)、緑は候補点 (3,2) と (3,3)

傾きは1以下なので、問題は次の点を ${\displaystyle (x_{0}+1,y_{0})}$ と ${\displaystyle (x_{0}+1,y_{0}+1)}$ のどちらにすべきかということに帰結する。直観的には ${\displaystyle x_{0}+1}$ のときの直線の通る位置がどちらの点に近いかで選択すればよい。そこで、2点の中間点を考える。

${\displaystyle f(x_{0}+1,y_{0}+1/2)}$

の計算結果が負なら中間点は直線より下にあり、正なら中間点は直線より上にある。中間点が直線より下なら、直線は ${\displaystyle (x_{0}+1,y_{0})}$ に近いのでその点を選び、逆なら ${\displaystyle (x_{0}+1,y_{0}+1)}$ を選べばよい。この中間点における関数の値のみで選択すべき点が決まる。

右図において、青い点 (2,2) は直線上にあり、緑の (3,2) と (3,3) が次に選択すべき点の候補である。黒い点 (3, 2.5) はその2つの候補点の中間点である。

中間点での関数値を求める代わりに、2点における関数値の差を使うことができる。それにより整数のみで計算可能となり、浮動小数点数を使うより一般に高速となる。この代替技法を導出するため、その差を次のように定義する。

${\displaystyle D=f(x_{0}+1,y_{0}+1/2)-f(x_{0},y_{0})}$

始点では ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$ であるため、この式は中間点の関数値を求めることと等価である。この式を変形すると次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=\left[A(x_{0}+1)+B(y_{0}+1/2)+C\right]-\left[Ax_{0}+By_{0}+C\right]\\&=A+{\frac {1}{2}}B\end{aligned}}}$

中間点の関数値を求める場合と同様、Dが正なら ${\displaystyle (x_{0}+1,y_{0}+1)}$ を選び、さもなくば ${\displaystyle (x_{0}+1,y_{0})}$ を選ぶ。

さらに2つ目の点の選択は次のようになる。

${\displaystyle f(x_{0}+2,y_{0}+1/2)-f(x_{0}+1,y_{0}+1/2)=A=\Delta y}$

${\displaystyle f(x_{0}+2,y_{0}+3/2)-f(x_{0}+1,y_{0}+1/2)=A+B=\Delta y-\Delta x}$

この差が正なら ${\displaystyle (x_{0}+2,y_{0}+1)}$ を選び、さもなくば ${\displaystyle (x_{0}+2,y_{0})}$ を選ぶ。この選択は誤差の蓄積によって一般化される。

(0,1) から (6,4) までの直線のプロットの様子を格子線とピクセルで示した図

以上でアルゴリズムの導出が完了した。性能上問題となるのは、Dの初期値で1/2という係数を使っている点である。ここで必要なのは累積差分の正負の符号だけなので、全てを2倍にしても結果には影響しない。

その結果、次のように整数のみでこのアルゴリズムを実装できる。

plot(x0,y0, x1,y1)
  dx=x1-x0
  dy=y1-y0

  D = 2*dy - dx
  plot(x0,y0)
  y=y0

  for x from x0+1 to x1
    if D > 0
      y = y+1
      plot(x,y)
      D = D + (2*dy-2*dx)
    else
      plot(x,y)
      D = D + (2*dy)

${\displaystyle f(x,y)=x-2y+2}$ で表される直線の (0,1) から (6,4) までをこのアルゴリズムで計算した場合の経過を以下に示す。dx=6、dy=3 である。

• D=2*3-6=0
• plot(0,1)
• 1から6までループ
  • x=1: D≤0: plot(1,1), D=6
  • x=2: D>0: y=2, plot(2,2), D=6+(6-12)=0
  • x=3: D≤0: plot(3,2), D=6
  • x=4: D>0: y=3, plot(4,3), D=6+(6-12)=0
  • x=5: D≤0: plot(5,3), D=6
  • x=6: D>0: y=4, plot(6,4), D=6+(6-12)=0

この描画結果を右図に示す。描画は座標上の交点（青い点）またはピクセル（黄色い四角形）で示されている。

ここまで述べてきたのは、第一象限の傾きが45度以下の場合（第一八分円）のみについてである。したがって、直交座標系のあらゆる場合を網羅するには全部で8つのケースを考慮する必要がある。