ブレートシュナイダーの公式

四角形の面積を S とすると、

${\displaystyle S=\pm \bigtriangleup {\text{ADB}}\pm \bigtriangleup {\text{BDC}}}$(±は、凸四角形と凹四角形の場合を省略します)${\displaystyle {\begin{aligned}&={\frac {1}{2}}ps\sin A+{\frac {1}{2}}qr\sin C\end{aligned}}}$

より

${\displaystyle 4S^{2}=(ps)^{2}\sin ^{2}A+(qr)^{2}\sin ^{2}C+2pqrs\sin A\sin C}$

を得る。また、余弦定理より、

${\displaystyle {\text{BD}}^{2}=p^{2}+s^{2}-2ps\cos A=q^{2}+r^{2}-2qr\cos C}$

であるから

${\displaystyle {\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}\cos ^{2}A+(qr)^{2}\cos ^{2}C-2pqrs\cos A\cos C}$

を得る。4S² についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、

${\displaystyle 4S^{2}+{\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}+(qr)^{2}-2pqrs\cos(A+C)}$

となる。倍角の公式 ${\displaystyle 1+\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$ を用いて変形すると、

${\displaystyle 16S^{2}=(p+q+r-s)(p+q-r+s)(p-q+r+s)(-p+q+r+s)-16pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}$

となる。この式は、半周長

${\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}}}$

を用いて

${\displaystyle 16S^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)-16pqrs\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}$

となり、ブレートシュナイダーの公式を得る[1]。

円に内接する四角形については、対角の和の半分が 90°であることから、ブラーマグプタの公式

S = √(T − p)(T − q)(T − r)(T − s)

が成り立つ。また、円に外接する四角形については、対辺の和が等しく、T = p + r = q + s であることから

${\displaystyle S={\sqrt {pqrs}}\sin {\frac {A+C}{2}}}$

が成り立つ。さらに外接円と内接円を持つ四角形、つまり双心四角形については、

S = √pqrs

となる。また、上記の証明は p = 0 として三角形の面積を考えているとしても通用し、ヘロンの公式

S = √T(T − q)(T − r)(T − s)

を得る。

• E. A. José García (2020) (英語). Two Identities and their Consequences. MATINF. pp. 5-11. http://matinf.upit.ro/MATINF6/index.html?fbclid=IwAR1l1rO0oOyEFW8UHuh5Mlt3gv_w8ibykYZGbVM7x2EKG7t3rHSc-vSMH7A#p=1
• アーネスト・ウィリアム・ホブソン (1918) (英語). A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press. https://archive.org/details/treatiseonplanet00hobs/page/n7/mode/2up

• 四角形
• ブラーマグプタの公式
• ヘロンの公式

• 『ブレートシュナイダーの公式』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Bretschneider's formula". mathworld.wolfram.com (英語).