ヘッケ作用素

${\displaystyle f}$をウェイト${\displaystyle k}$の正則保型形式${\displaystyle M_{k}(\Gamma )}$と仮定する。 (ただし、${\displaystyle \Gamma$ :=SL_{2}(\mathbb {Z} )} である。) このとき、${\displaystyle m\geq 1}$に対して、ヘッケ作用素${\displaystyle T_{k}(m):M_{k}(\Gamma )\rightarrow M_{k}(\Gamma )}$は、

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{k}(m)f)(z)&:=m^{k-1}\sum _{ad=m}\sum _{b=0}^{d-1}d^{-k}f\left({\frac {az+b}{d}}\right)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n}\\&=\sigma _{k-1}(m)a(0,f)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n},\end{aligned}}}$

によって定義される[1]。 ただし、${\displaystyle \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}}$[2]、また、${\displaystyle a(n,f)}$は 正則保型形式${\displaystyle f}$のフーリエ係数である[3]。

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a(n,f)q^{n}.}$

作用素${\displaystyle T_{k}(m)}$は関係式

${\displaystyle T_{k}(m)T_{k}(n)=T_{k}(n)T_{k}(m)=\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}T_{k}\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right),}$

を満足するので、${\displaystyle \mathbb {T} _{k}:=\mathbb {C} \left[T_{k}(m)|m=1,2\cdots \right]}$は可換な${\displaystyle \mathbb {C} }$ 代数を構成する[1]。この${\displaystyle \mathbb {T} _{k}}$をヘッケ環と呼ぶ。 (ただし、ヘッケ環は、制限を加えたものや、局所的な類似など他にもいろいろとある[1]。)

• 黒川信重、栗原将人、斎藤毅『数論Ⅱ：岩澤理論と保型形式』岩波書店、2005年。ISBN 4-00-005528-3。