ベイズ探索理論

一般的な手順は次の通りとなる。

1. その物体に何が起こったかについて、理にかなった仮説をできる限り多く定式化する。
2. それぞれの仮説について、物体の位置に関する確率密度関数を組み立てる。
3. 物体が地点 X にあったとして、そこを捜索して実際に物体を発見できる確率の関数を組み立てる。海洋捜索の場合、通常は水深を用いた関数になる。水深が浅い場合、場所さえ合っていれば発見が成功する見込みは高い。逆に水深が深いと、見逃す可能性が高まる。
4. 上記の情報を一貫性があるよう組み合わせ、最終的な確率密度マップを作成する。（通常は、2つの関数を単純に掛け合わせる。）これにより、地点 X の捜索で物体が見つかる確率が、それぞれ全ての地点 X について得られる。これは確率に関する等値線として図示できる。
5. 最も可能性が高い地点から始まる探索ルートを決め、高確率エリアを注意深く調べてゆき、次いで中確率の、最後の低確率のエリアを調べる。
6. 捜索中に全ての確率を継続的にアップデートしてゆく。例えば、地点 X に物体の破片があることを仮説が示唆しているにもかかわらず地点 X の捜索で破片が見つからなかった場合、その周辺に物体がある確率は（通常ゼロではないにせよ）大きく減じられる。一方、他の地点にある可能性はそれに応じて高められる。このアップデート手順は、ベイズの定理に基づいている。

言ってみれば、最も見つかる見込みの高い場所から探し始め、見込みのより低い場所、さらに低い場所へと（燃料、範囲、潮流などが許す限り）移ってゆき、物体を発見できる見込みがもはや乏しく、許容できる捜索コストに見合わなくなるまで続けるのである。

ベイジアン的手法を使う利点は、入手できる全ての情報が一貫性（いわゆる「漏れの無い」手法）を以って使われ、発見成功の確率に対するコストを自ずから見積もるところにある。すなわち、たとえ捜索を始める前であっても「5日間の捜索で発見できる確率は65%、10日間なら90%、15日間なら97%まで上がります」といったような仮説を述べることができるのである。こうして、捜索にリソースを割り当てる前に、その費用対効果を評価できる。

原潜スコーピオンの他にもベイズ探索理論で発見できた艦船には、イギリスの沈没船としては最大となるダービーシャー、およびセントラル・アメリカがある。またスペインでのパロマレス米軍機墜落事故で行方不明になった水素爆弾の捜索[4]、大西洋で墜落したエールフランス447便の発見でもその有用性を証明した。

ベイズ探索理論はアメリカ沿岸警備隊が捜索救難で使うCASP[† 1]によるミッション立案ソフトウェアに組み入れられている。これは後に地形と植生を加味して、米空軍と民間空中哨戒部隊が内陸での捜索でも用いるようになった。

地図上の各方眼について、探している残骸がそこにある確率p、および残骸がそこにあったとして実際に発見できる確率qを想定する。ある方眼を捜索して残骸が見つからなかったならば、ベイズの定理により、その方眼に残骸がある確率は次のように更新される。

${\displaystyle p'={\frac {p(1-q)}{(1-p)+p(1-q)}}=p{\frac {1-q}{1-pq}}<p.}$

その他の全ての方眼について、事前確率をrとするならば、事後確率は次のようになる。

${\displaystyle r'=r{\frac {1}{1-pq}}>r}$

この問題に関する教科書的な文献は、メトロン社のローレンス・D・ストーンが著し1975年にアメリカ・オペレーションズ・リサーチ学会 (Operations Research Society of America) が刊行した『最適探索の理論』(The Theory of Optimal Search) であり、これは同年に同学会のランチェスター賞を受賞した。

n個の方形エリアのどこか一か所に静止した物体が隠されているとする。各エリア${\displaystyle i}$それぞれについて、3つの既知の変数がある。${\displaystyle c_{i}}$は1回の捜索にかかるコスト、${\displaystyle a_{i}}$ は物体がそこにあったとして1回の捜索でそれを発見できる確率、${\displaystyle p_{i}}$は物体がそこにある確率となる。捜索者は開始時の事前確率を承知した上で、発見に失敗するごとにベイズの定理に従ってそれを更新してゆく。

物体を発見するために予想されるコストをいかに最小化するかというのは古典的な問題で、これはダヴィッド・ブラックウェルが解決した[6]。意外にも、この最適化方法は「${\displaystyle {\frac {p_{i}a_{i}}{c_{i}}}}$ が最大となる場所を順に捜索してゆく」という形で平易に表現できる。実のところ、これはギッティンズ・インデックスの特殊な場合にあたる。