ベクタン点

ユークリッド幾何学において、 ベクタン点（ベクタンてん、英:Vecten points）は三角形の中心の一つである[註 1]。三角形の辺を一辺とする内側または外側の正方形の中心が成す三角形との配景の中心として定義される[1]。

△ ABC

外側の正方形(中心は

O a, O b, O c

)

AO a, BO b, CO c

(外ベクタン点

X 485

で交わる)と九点円 (中心は

X 5

)

内側の正方形(中心は

I a, I b, I c

)

AI a, BI b, CI c

(内ベクタン点

X 486

で交わる)

ベクタン点と九点円の中心を結ぶ直線

ベクタン点の名称は、ジェルゴンヌ(英語版)を指導学生に持つ19世紀のフランスの数学者ベクタンが1817年に研究したことに由来する[2]。

外ベクタン点

$△ ABC$ について、 $BC, CA, AB$ を一辺に持つ外側の正方形の中心をそれぞれ $O a, O b, O c$ とする。 $AO a, BO b, CO c$ は共点でその点を外ベクタン点(Outer Vecten point)と言う。外ベクタン点の三線座標は以下の式で与えられる。

$\sec(A-{\frac {\pi }{4}}):\sec(B-{\frac {\pi }{4}}):\sec(C-{\frac {\pi }{4}})$

クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(485)として登録されている。単にベクタン点と言う場合は外ベクタン点を指す。

$△O a O b O c$ を外ベクタン三角形(Outer Vecten Triangle)と言う[3]。外ベクタン三角形の重心は元の三角形の重心と一致する。また外ベクタン三角形の垂心は外ベクタン点となる。

$△ ABC$ について、 $BC, CA, AB$ を一辺に持つ内側の正方形の中心をそれぞれ $I a, I b, I c$ とする。 $AI a, BI b, CI c$ は共点でその点を内ベクタン点(Inner Vecten point)と言う。内ベクタン点の三線座標は以下の式で与えられる。

$\sec(A+{\frac {\pi }{4}}):\sec(B+{\frac {\pi }{4}}):\sec(C+{\frac {\pi }{4}})$

クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(486)として登録されている[4]。

$△I a I b I c$ を内ベクタン三角形(Inner Vecten Triangle)と言う[5]。内ベクタン三角形の重心は元の三角形の重心と一致する。また内ベクタン三角形の垂心は内ベクタン点となる。

“Orthopoles, Flanks, and Vecten Points”. Todor Zaharinov. 2024年4月1日閲覧。
Ayme, Jean-Louis, La Figure de Vecten 2014年11月4日閲覧。.
Weisstein, Eric W.. “Outer Vecten Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月1日閲覧。
Kimberling. “Encyclopedia of Triangle Centers”. 2024年4月1日閲覧。
Weisstein, Eric W.. “Inner Vecten Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月1日閲覧。

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