ベーテの式

電子密度 n のターゲット物質に電気素量 e の z 倍の電荷を持つ粒子が入射する場合を考える。物質内の移動距離を x 、粒子の速度を v 、エネルギーを E として、相対論効果を含めたベーテの式は国際単位系で以下のように表される[2]。

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dx}}\right\rangle ={\frac {4\pi }{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}\cdot {\frac {nz^{2}}{\beta ^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{\mathrm {e} }c^{2}\beta ^{2}}{I\cdot (1-\beta ^{2})}}\right)-\beta ^{2}\right]}$

(1)

ここで c は光速度、ε₀ は真空の誘電率、m_e は電子の静止質量を意味する。また β = v/c である。I は平均励起ポテンシャルと呼ばれる量で、ターゲット物質の原子が荷電粒子から受ける励起の平均的なエネルギーを表す。

プロトンに対するアルミニウムの阻止能対プロトンエネルギー、および補正なし（赤）および補正あり（青）のBethe式

ターゲット物質の電子密度は以下の式で計算できる。

${\displaystyle n={\frac {N_{A}\cdot Z\cdot \rho }{A\cdot M_{u}}}}$

上式の ρ は材料の密度、Z と A はそれぞれ材料の原子番号と相対原子質量、N_A はアボガドロ数、M_u はモル質量定数である。

右に示すグラフでは、小さい白丸が複数の著者による実験値を、赤い曲線はベーテの式を表している[4]。ベーテ理論は高エネルギー領域で実験と非常によく一致していることが明らかである。理論に修正を加えるとさらに良い一致が得られる（後述）。

エネルギーが低い、すなわち粒子速度が小さい (β ≪ 1) 場合には、ベーテの式は以下のように単純化される。

${\displaystyle -{\frac {dE}{dx}}={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{\mathrm {e} }v^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{\mathrm {e} }v^{2}}{I}}\right)\right]}$

(2)

式 (1) の βc を v で置き換え、さらに β² は微小なので無視すると上式が得られる。

式 (2) からわかるように、ベーテの式で表されるエネルギー損失は、低エネルギー領域においてはエネルギーの増加とともにほぼ v⁻² に比例して減少し、およそ E = 3Mc² で最小値に達する。この M は粒子の質量である（粒子が陽子なら M は約3000 MeVになる）。その先の領域 (β ≈ 1) では相対論効果が強くなり、エネルギー損失はエネルギーの増加とともに対数的に増加する。

原子の平均励起ポテンシャル I（単位eV）を原子番号 Z で割ったものを Z に対してプロットした。

ベーテの理論では、材料の性質は平均励起ポテンシャル I という一つの量のみで表される。フェリックス・ブロッホは1933年に原子の平均イオン化ポテンシャルが近似的に以下で与えられることを示した。

${\displaystyle I=(10~\mathrm {eV} )\cdot Z}$

(3)

ここで Z は材料原子の原子番号である。この近似を前述の式 (1) に導入すると、一般にベーテ・ブロッホの式と呼ばれる表式が得られる。しかし、現在では Z に対して I を与える正確なテーブルが作られており、式 (3) の代わりにそれを使えばもっと良い結果が得られる。

あるテーブルから取得した I の値（規格化されている）を右図に示す[5]。このグラフで山（谷）になっている箇所では、阻止能のグラフが谷（山）になる。これは「Z₂-振動」もしくは「Z₂-構造」と呼ばれている（ Z₂ はターゲット物質の原子番号を意味する）。

ベーテの式は量子力学的な摂動論によって導かれたため、粒子電荷 z の2乗に比例している。z の高次項にあたる補正を加えると結果はさらに改善される。そのような補正にはバルカス・アンダーソン効果（ z³ に比例）やブロッホ補正（ z⁴ に比例）がある。また、媒質物質の原子に含まれる電子が静止していないことを考慮した補正もある（殻補正）。

陽子やアルファ粒子の阻止能を計算することが可能なPSTARやASTARなどのプログラムにはこれらの補正が組み込まれている[6]。補正項は低エネルギーでは大きく、エネルギーが増加するにつれて小さくなる。

非常にエネルギーが高い領域では、フェルミの密度効果による補正[5]も加える必要がある。

アメリカ国立標準技術研究所はPSTARやASTARの解説で式 (1) を "Bethe's stopping power formula"（ベーテの阻止能公式）と呼んでいる[6]。

パーティクル・データ・グループが公刊している総説 Review of Particle Physics では、ブロッホの近似式 (3) が用いられていないにもかかわらず "Bethe-Bloch equation"（ベーテ・ブロッホ方程式）の名が2008年の版まで使われた[7]。しかし後年の版で "Bethe formula"（ベーテの式）に変えられた[8][9]。

• ランダウ分布

1. H. Bethe und J. Ashkin in "Experimental Nuclear Physics, ed. E. Segré, J. Wiley, New York, 1953, p. 253
2. Sigmund, Peter Particle Penetration and Radiation Effects. Springer Series in Solid State Sciences, 151. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.
3. H. Bichsel, Rev. Mod. Phys. 60, 663 (1988)
4. “Stopping Power for Light and Heavier Ions” (2015年4月15日). 2015年11月1日閲覧。
5. Report 49 of the International Commission on Radiation Units and Measurements, "Stopping Powers and Ranges for Protons and Alpha Particles", Bethesda, MD, USA (1993)
6. NISTIR 4999, Stopping Power and Range Tables
7. Particle Data Group, et al. (2008). “Review of Particle Physics”. Physics Letters B 667 (1-5): 1-6. doi:10.1016/j.physletb.2008.07.018.
8. K. Nakamura et al. (Particle Data Group) (2010). “Review of Particle Physics”. Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics 37: 075021. doi:10.1088/0954-3899/37/7A/075021.
9. J. Beringer et al. (Particle Data Group). “Review of Particle Physics”. Physical Review D 86: 010001. doi:10.1103/PhysRevD.86.010001.

• The Straggling function. Energy Loss Distribution of charged particles
• Original Publication: Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie in "Annalen der Physik", Vol. 397 (1930) 325 -400
• Passage of charged particles through matter, with a graph
• Stopping power for protons and alpha particles
• Stopping Power graphs and data