ベート数

ベート数 (beth number) を定義するために、

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$

を任意の可算無限集合の濃度とすることで始める。具体的にするために、典型的な自然数全体の集合 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ をとる。P(A) によって A のベキ集合、すなわち A のすべての部分集合からなる集合を表す。そして

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}}$

と定義する。これは ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ が A の濃度であれば A のベキ集合の濃度である。

この定義が与えられると、

${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$

はそれぞれ

${\displaystyle \mathbb {N} ,\ P(\mathbb {N} ),\ P(P(\mathbb {N} )),\ P(P(P(\mathbb {N} ))),\ \dots .}$

の濃度であって、2番目のベート数 ${\displaystyle \beth _{1}}$ は連続体濃度 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ に等しく、3番目のベート数 ${\displaystyle \beth _{2}}$ は連続体濃度をもつ集合のベキ集合の濃度である。

カントールの定理によって上の列の各集合は前の集合よりも真に大きい濃度をもつ。無限極限順序数 λ に対して、対応するベート数は λ よりも真に小さいすべての順序数に対するベート数の上限として定義される。

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

フォン・ノイマン宇宙 ${\displaystyle V_{\omega +\alpha }\!}$ は濃度 ${\displaystyle \beth _{\alpha }\!}$ をもつことも証明できる。

選択公理を仮定すると、無限濃度は全順序であり、任意の2つの濃度は常に比較可能である。したがって、定義により、${\displaystyle \aleph _{0}}$ と ${\displaystyle \aleph _{1}}$ の間に無限濃度は存在せず、

${\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}}$

であることが従う。この議論を繰り返すことによって（超限帰納法参照）すべての順序数 ${\displaystyle \alpha }$ に対して ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$ である。

連続体仮説は次と同値である。

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

一般連続体仮説が言っているのはこのように定義されたベート数の列はアレフ数の列と同じである、すなわちすべての順序数 ${\displaystyle \alpha }$ に対して ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ であるということである。

より一般的な記号 ${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$、ここで α は順序数で κ は基数、が時折用いられる。それは次のように定義される。

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$ if λ is a limit ordinal.

なので

${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}$

ZF において、任意の濃度 κ と μ に対して、ある順序数 α が存在して、

${\displaystyle \kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).}$

そして ZF において、任意の濃度 κ と順序数 α、β に対して

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).}$

したがって、ur-elementのないZermelo–Fraenkel 集合論において、選択公理はあってもなくても、任意の濃度 κ と μ に対して、等式

${\displaystyle \beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )}$

がすべての十分大きい順序数 β に対して成り立つ（つまり、ある順序数 α が存在して、すべての順序数 β ≥ α に対して等式が成り立つ）。

これは ur-element をもつ Zermelo–Fraenkel 集合論においても選択公理はあってもなくても、ur-element が pure set（推移閉包が ur-element を全く含まないような集合）と等濃な集合をなすと仮定すれば、成り立つ。選択公理を仮定すれば、ur-element からなる任意の集合はある pure set と等濃である。

• T. E. Forster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995 — Beth number is defined on page 5.
• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Models and Ultraproducts: An Introduction (reprint of 1974 edition ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-44979-3 See pages 6 and 204–205 for beth numbers.
• Roitman, Judith (2011). Introduction to Modern Set Theory. Virginia Commonwealth University. ISBN 978-0-9824062-4-3 See page 109 for beth numbers.