ホフスタッター点

△ABC と実数rがある。

点Aのある方向へ、線分BCを点Bを中心にrB回転した線をL_BC、点Cを中心にrC回転した点をL'_BCとし、その二直線の交点をA(r)とする。同様にB(r)、C(r)も定義する。A(r), B(r), C(r) の成す三角形は△ABCのホフスタッターr三角形(またはrホフスタッター三角形) と呼ばれる[2][1]。

三線座標

ホフスタッターr三角形の各頂点の三線座標は以下の様に与えられる。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{array}}}$$

ホフスタッター点のアニメーション。 H₀ はホフスタッター0点で H₁ はホフスタッター1点. 赤い線は0 < r < 1の範囲のホフスタッターr点の軌跡を表す。この軌跡は内心I を通る。

実数rについて△ABCに対するホフスタッターr三角形の頂点をA(r), B(r), C(r)とする。このときAA(r), BB(r), CC(r)は共点で、その点を△ABCのホフスタッターr点と言う[4]。

ホフスタッターr点の三線座標

ホフスタッターr点の三線座標は以下の様に与えられる。

$${\displaystyle {\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}\$$ :\ {\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}\ :\ {\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}}

ホフスタッターr点とホフスタッター1-r点は等角共役である。rが0,1,2でない整数の場合、ホフスタッター2-r点とホフスタッターr点は外接円に対する反転の関係にある[5]。

rが0または1であるとき、単に上の式にそれを代入しても三線座標を得ることはできない。

ホフスタッター0点はホフスタッターr点を0に極限まで近づけたときに得られる三線座標の値が表す点として定義される。

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC\sin(C-rC)}}\end{array}}}$$

${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rA}{rA}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rB}{rB}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rC}{rC}}=1}$より

$${\displaystyle \implies {\frac {A}{\sin A}}\$$ :\ {\frac {B}{\sin B}}\ :\ {\frac {C}{\sin C}}\quad =\quad {\frac {A}{a}}\ :\ {\frac {B}{b}}\ :\ {\frac {C}{c}}}

ホフスタッター1点も同様にホフスタッターr点を1に極限まで近づけたときに得られる三線座標の値が表す点として定義される。

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{array}}}$$

${\displaystyle \lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)A}{\sin(A-rA)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)B}{\sin(B-rB)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)C}{\sin(C-rC)}}=1}$より

$${\displaystyle \implies {\frac {\sin A}{A}}\$$ :\ {\frac {\sin B}{B}}\ :\ {\frac {\sin C}{C}}\quad =\quad {\frac {a}{A}}\ :\ {\frac {b}{B}}\ :\ {\frac {c}{C}}}