ホモクリニック軌道

次のような常微分方程式で定義された連続力学系を考える。

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$

${\displaystyle x=x_{0}}$が不動点であり、解${\displaystyle \phi (t)}$が次を満たすならばホモクリニック軌道である。

${\displaystyle \phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow \pm \infty }$

もし、相空間が3次元以上ならば、鞍点上の不安定多様体をより詳しく調べる必要がある。 大別して2つの場合について述べる。 一つ目は、不安定多様体が幾何学的には円筒型と同相である場合で、 二つ目は、不安定多様体が幾何学的には、メビウスの輪と同相である場合である。 二つ目のホモクリニック軌道を特に、ねじれていると呼ぶ。

離散力学系についても、ホモクリニック軌道は定義可能である。 写像${\displaystyle f:M\rightarrow M}$が、多様体${\displaystyle M}$の微分同相であるとき、 ${\displaystyle x}$が同じ未来と過去を持っている、つまりは、不動点または周期点${\displaystyle p}$が存在する

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \pm \infty }f^{n}(x)=p.}$

であるとき、${\displaystyle x}$をホモクリニックポイントと呼ぶ。

An oriented homoclinic orbit

A twisted homoclinic orbit

• John Guckenheimer and Philip Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields (Applied Mathematical Sciences Vol. 42), Springer

• Homoclinic orbits in Henon map with Java applets and comments

• ヘテロクリニック軌道
• ホモクリニック分岐