ボールウェイン積分

数学において、ボールウェイン積分（英: Borwein integral）は関数sinc(ax) の積の積分である。ただし、ここでsinc(x)はsinc関数であり、0でないxに対しては sinc(x)=sin(x)/xとし、sinc(0)=1と定める[1][2]。2001年にデイヴィッド・ボールウェインとジョナサン・ボールウェインによって提示された。これらの積分は、わかりやすいパターンを示すかと思いきや、やがてそれが崩れることで知られる。たとえば、以下のとおりである。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx=\pi /2\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx=\pi /2\end{aligned}}}$

このパターンは、次まで続く。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx=\pi /2}$

ところが、次のステップではこのパターンが崩れてしまう。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}\end{aligned}}}$

一般には、3,5,...という数に限らず、それらの数の逆数の和が1より小さい任意の実数たちを用いても、同様に積分値がπ/2となる。上の例では、1/3+1/5+...+1/13<1だが、1/3+1/5+...+1/15>1である。

より長い列の例を挙げる。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx=\pi /2,}$

だが、

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<\pi /2,}$

である。これらの例とともに、このようなことが起こる理由の直観的な説明も示されている[3]。