ポアソン多様体

多様体 $M$ がポアソン多様体（ポアソンたようたい、英: Poisson Manifold）であるとは、 $M$ 上の $C \infty$ 級関数全体のなすベクトル空間を $C \infty (M)$ と表すとき、次の性質を満たす写像 $\{\cdot ,\cdot \}\colon C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ が存在することをいう。

$\{\cdot ,\cdot \}$ は、 $\mathbb {R}$ -双線形形式である。
$\,\{f,g\}=-\{g,f\}\,$
$\,\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\,$ 　:ヤコビ律
$\,\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}\,$

このとき、写像 $\{\cdot ,\cdot \}\colon C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ を $M$ 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。

例

$\,(M,\omega )\,$ をシンプレクティック多様体とする。このとき、 $M$ 上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

\,\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})\,

ここで、 $\,X_{f},X_{g}\,$ はそれぞれ $\,f,g\,$ から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

$(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})$ をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

\{f,g\}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)

と書ける。

関連項目

幾何学的量子化

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