ポリガンマ関数

ガンマ関数 Γ(z) に対し、その対数微分

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln {\Gamma (z)}={\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\psi (z)}$

で、定義される関数をポリガンマ関数と呼ぶ。

ψ(z), ψ⁽¹⁾(z), ψ⁽²⁾(z), ψ⁽³⁾(z), ψ⁽⁴⁾(z) は、それぞれディ-、トリ-、テトラ-、ペンタ-、ヘキサ-ガンマ関数と呼ばれる。

ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(z ) は z = 0, −1, −2, ... で n + 1 位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

ポリガンマ関数は次の漸化式を満たす。

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z+1)=\psi ^{(n)}(z)+{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}}$

ポリガンマ関数はz ≠0, -1, -2, -3...で次の級数表示を持つ。

• ${\displaystyle \psi (z)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{z+n}}-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}}$

• ${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}n!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{n+1}}}\qquad (n=1,2,3,\cdots )}$

また、z =0でのテイラー展開により、|z |<1の領域で次のように表される。

• ${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)z^{k-1}}$

• ${\displaystyle \psi ^{(n)}(z+1)=(-1)^{n+1}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(n+k-1)!\zeta (n+k)z^{k-1}}{(k-1)!}}\qquad (n=1,2,3,\cdots )}$

但し、γ =0.5772...はオイラーの定数、ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。

Rez >0のとき、ポリガンマ関数は次の積分表示を持つ。

• ${\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt}$

• ${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{n}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt\quad (n=1,2,\cdots )}$

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

${\displaystyle (-1)^{n}\psi ^{(n)}(1-z)-\psi ^{(n)}(z)=\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\operatorname {cot} \pi z}$

但し、cot πz は余接関数を表す。

z →∞　(|argz | < π)のとき、ポリガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

• ${\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}}$

• ${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)\sim (-1)^{(n-1)}\left({\frac {(n-1)!}{z^{n}}}+{\frac {n!}{2z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}(2k+n-1)!}{(2k)!z^{2k+n}}}\right)\quad (n=1,2,\cdots )}$

但し、B_2kはベルヌーイ数である。

ポリガンマ関数は、m=1において、次の値をとる。

• ${\displaystyle \psi (1)=-\gamma }$
• ${\displaystyle \psi ^{(n)}(1)=(-1)^{n+1}n!\zeta (n+1)\quad (n=1,2,\cdots )}$

ポリガンマ関数は、m≧2の正の整数において、次の値をとる。

• ${\displaystyle \psi (m)=-\gamma +\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k}}=-\gamma +H_{m-1}\qquad (m=2,3,4,\cdots )}$

• ${\displaystyle \psi ^{(n)}(m)=(-1)^{n}n!\left\{-\zeta (n+1)+\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k^{n+1}}}\right\}\qquad (n=1,2,3,\cdots ,m=2,3,4,\cdots )}$

但し、γ はオイラーの定数、H_m-1は調和数を表す。

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover (1965) ISBN 978-0486612720
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0521588072
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 権平健一郎、神原武志、小山直人 (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) ISBN 978-4061539792

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