ミンコフスキーの定理

S を体積が d (L) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in L\backslash \{0\}}$

となる ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S}$ がとれる。これは次のように証明できる。

L の基底 ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$ をとり

${\displaystyle F=\{a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {u} _{n},0\leq a_{i}<1\}}$

をこの基底に対する L の基本領域とすると

${\displaystyle V(F)=d(L)}$

が成り立つ。

${\displaystyle \mathbf {v} =b_{1}\mathbf {u} _{1}+b_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {u} _{n}}$

に対して

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-\lfloor b_{i}\rfloor )\mathbf {u} _{i}}$

を対応させる。 f は R ⁿ から F への写像で、

${\displaystyle f(\mathbf {v} )-\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}\lfloor b_{i}\rfloor \mathbf {u} _{i}\in L}$

が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、 f が S 上で単射ならば ${\displaystyle V(f(S))=V(S)}$ となるはずである。しかし f の像は F に含まれるから

${\displaystyle V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))}$

となる。よって f は S 上単射ではないので

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})=f(\mathbf {v} _{2})}$

となる点 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S}$ がとれる。

${\displaystyle f(\mathbf {v_{1}} )-\mathbf {v_{1}} ,f(\mathbf {v_{2}} )-\mathbf {v_{2}} \in L}$

だから

${\displaystyle \mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}} \in S,\mathbf {v_{2}} -\mathbf {v_{1}} =\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} \in L}$

である。

S を Rⁿ 内の、原点に関して対称で体積が ${\displaystyle 2^{n}d(L)}$ より大きい凸集合とする。

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}S=\{{\frac {1}{2}}\mathbf {v}$ :\mathbf {v} \in S\}}

とおく。${\displaystyle V(S)>2^{n}d(L)}$ だから ${\displaystyle V(T)=V(S)/2^{n}>d(L)}$ なので Blichfeldtの定理より

${\displaystyle \mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\backslash \{0\}}$

となる2点 ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in T}$ がとれる。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=2\mathbf {w} _{1},\mathbf {u} =2\mathbf {w} _{2}\in S}$ が成り立ち、 S は原点に関して対称だから ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {u} =-2\mathbf {w} _{2}\in S}$ も成り立つ。 S は凸集合なので ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\in S}$ である。一方で

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=\mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\backslash \{0\}}$

であるから S は原点とは異なる L 上の点 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ を有する。

上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる[4]。 実際 p を ${\displaystyle 4n+1}$ の形の素数とすると

${\displaystyle t^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

となる t がとれる（p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。

${\displaystyle y\equiv tx{\pmod {p}}}$

となる点 ${\displaystyle (x,y)}$ 全体は ${\displaystyle (1,t),(0,p)}$ を基底とする格子 L と一致し、${\displaystyle d(L)=p}$ が成り立つ。 原点を中心とする半径 ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$ の開円盤は面積 ${\displaystyle 2\pi p>4p}$ の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる L の格子点 ${\displaystyle (a,b)}$ を含む。

${\displaystyle b\equiv ta{\pmod {p}}}$

であるから

${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv a^{2}(1+t^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}$

である。一方 ${\displaystyle (a,b)}$ は原点ではなく、かつ原点からの距離は ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$ より小さいから

${\displaystyle 0<a^{2}+b^{2}<2p}$

である。よって

${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$

が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。