モチヴィック・コホモロジー

ブロック、リヒテンバウム、フリードランダー、ススリン、レヴァイン（Levine）らにより、体上の滑らかなスキーム X について、位相幾何学におけるアティヤ・ヒルツェブルフ・スペクトル系列の類似であるモチヴィック・コホモロジーから代数的K理論へのスペクトル系列

${\displaystyle E_{2}^{pq}=H^{p}(X,\mathbf {Z} (-q/2))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}$

の存在が知られている。

位相幾何学におけるのと同様、このスペクトル系列は有理数体をテンソルすると退化する[5]。体上有限型な任意のスキーム（滑らかでなくともよい）に対して、モチヴィック・ホモロジーから G 理論（ベクトル束ではなく、連接層の K 理論）への同様のスペクトル系列が存在する。

モチヴィック・コホモロジーは、体に対しても興味深い不変量を提供する（体 k からスキーム Spec(k) が得られ、これに対してモチヴィック・コホモロジーが定義されることに注意）。体 k のモチヴィック・コホモロジー Hⁱ(k, Z(j)) についてまだ十分にはわかっていないが、i = j の場合には

${\displaystyle K_{j}^{M}(k)\cong H^{j}(k,\mathbf {Z} (j))}$

という表示が知られている。

ここで、K_j^M(k) は k の j 次ミルナー K 群である[6]。体のミルナー K 群は生成元と関係式によって明示的に定義できるので、これは k のモチヴィック・コホモロジーの一部の便利な表示になっている。

X を体 k 上の滑らかなスキーム、m を k で可逆な正の整数とする。このとき、モチヴィック・コホモロジーからエタール・コホモロジーへのサイクル写像と呼ばれる自然な準同型

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))}$

が存在する。

ここで、右の Z/m(j) は、1の m 乗根 μ_m からなるエタール層 (μ_m)^⊗j である。これは、滑らかな多様体のチャウ環からエタール・コホモロジーへのサイクル写像の一般化になっている。

モチヴィック・コホモロジーを計算することが代数幾何学や数論の目標になることが多いが、一方、エタール・コホモロジーのほうが理解が容易なことが多い。例えば、基礎体 k が複素数体であれば、エタール・コホモロジーは（有限な係数の）特異コホモロジーと一致する。ヴォエヴォドスキーによって証明されたベイリンソン・リヒテンバウム予想は、多くのモチヴィック・コホモロジー群は、実際にはエタール・コホモロジー群と同型であるというもので、強力な結果である。これはノルム剰余同型定理の帰結である。つまり、ベイリンソン・リヒテンバウム予想（ヴォエヴォドスキーの定理）は、体 k 上滑らかなスキーム X と k で可逆である正の整数 m に対して、サイクル写像

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))}$

は全ての j ≥ i に対して同型写像であり、全ての j ≥ i − 1 に対して単射であると主張する[7]。

任意の体 k と可換環 R に対して、ヴォエヴォドスキーは k 上の R 係数の モチーフの導来圏 DM(k; R) と呼ばれる R 線形3角圏 を定義した。k 上のスキーム X から、X のモチーフ M(X) と X のコンパクト台のモチーフ M^c(X) という2つの DM の対象が得られる。X が k 上固有 であれば、この2つは同型である。

モチーフの導来圏の基本的なことの一つは、4種類のモチヴィック・ホモロジーとモチヴィック・コホモロジーは全てこの圏における射の集合として生じるということだ。これを記述するために、まず全ての整数 j に対しテイト・モチーフ R(j) と呼ばれる DM(k; R) の対象が存在し、射影空間のモチーフはテイト・モチーフの直和となることに注意する:

${\displaystyle M(\mathbf {P} _{k}^{n})\cong \oplus _{j=0}^{n}R(j)[2j]}$

ここで M ↦ M[1] は3角圏 DM(k; R)のずらし関手（もしくは"移動関手"）と呼ばれる関手である。これらを使うと、k 上有限型なスキーム X の（例えば）モチヴィック・コホモロジーは

${\displaystyle H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])}$

とかける。

ベイリンソンによる予想のモダンな言い換えは、係数 R が有理数体のとき、DM(k; Q) のコンパクトな対象からなる部分圏はアーベル圏 MM(k) の有界導来圏、すなわち k 上の混合モチーフの圏に同値であろうというものになる。特にこの予想からモチヴィック・コホモロジー群は混合モチーフの圏におけるExt群と同一視できることが導かれる[8]。この予想の証明はほとんど手つかずである。具体的に、ベイリンソンの予想は i < 0 に対して Hⁱ(X,Q(j)) はゼロと予測する。これはベイリンソン・スレ予想と呼ばれる予想であるが、これが知られているのはごく少数のケースだけである。

逆に、ベイリンソン・スレ予想の変種と、グロタンディークの標準予想とチャウ・モチーフについてのミュール（Murre）の予想をあわせると、DM(k; Q) の t 構造の核（heart）[9]としてアーベル圏 MM(k) の存在が導かれる[10]。しかし、これだけでは MM(k) でのExt群とモチヴィック・コホモロジーを同一視できることまでは導かれない。

複素数体の部分体 k に対して、混合モチーフのアーベル圏の候補がノリにより定義された[11]。もし圏 MM(k) が期待される性質を持つ（特に MM(k) から Q 上のベクトル空間の圏へのベッチ実現関手が忠実）ならば、それはノリの圏と同値でなければならない。

X を数体上の滑らかな射影多様体とする。L 関数の特殊値についてのブロック加藤予想は、X の L 関数の整数点における位数はあるモチヴィック・コホモロジー群の階数に等しいと予測する。これは、ドリーニュとベイリンソンによる初期の予想を含む、数論における中心的な問題の一つである。バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想はこの予想の特別な場合である。この予想には、L 関数の整数点における最初の係数をレギュレータとモチヴィック・コホモロジー上の高さペアリングを用いて記述するより精緻な予想も含まれている。