ヤコビ恒等式

集合 ${\displaystyle S}$ に二項演算 ${\displaystyle *}$ と可換かつ単位元 ${\displaystyle 0}$ を持つ二項演算 ${\displaystyle +}$ が定義され、この${\displaystyle (S,+,*)}$ について、

${\displaystyle a*(b*c)+b*(c*a)+c*(a*b)=0\quad \forall {a,b,c}\in S.}$

が成立するとき、${\displaystyle (S,+,*)}$ はヤコビ恒等式を満たすという。

• ${\displaystyle S}$ が ${\displaystyle +}$ によって加法群の構造を持ち、ねじれ元を持たないとき、${\displaystyle S}$ の元は ${\displaystyle *}$ に関して冪零である。実際上記の恒等式で a = b = c とおけばよい。

${\displaystyle S}$ が ${\displaystyle +}$ によって加法群の構造を持つとしよう。このときヤコビ恒等式は

${\displaystyle x*(b*c)=-c*(x*b)-b*(c*x)}$

という形で書くことができる。左辺を x に対する b * c の随伴作用と解釈すると、右辺はそれを b の作用と c の作用で逐次的に行って実現するものと解釈することができる。

三次元ベクトルにおける外積

三次元のベクトル空間における外積（クロス積）はヤコビ恒等式を満たす。

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})+{\boldsymbol {b}}\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {c}}\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {0}}}$

リー環

リー環における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。

${\displaystyle [[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0}$

括弧積を随伴作用と考えれば、環上の微分におけるライプニッツ則として捉えることができる。すなわち、

${\displaystyle \mathrm {ad} _{X}(Y)=[X,Y]}$

と表せば、上述のヤコビ恒等式は

${\displaystyle \mathrm {ad} _{Z}([X,Y])=[\mathrm {ad} _{Z}(X),Y]+[X,\mathrm {ad} _{Z}(Y)]}$

であり、ライプニッツ則として解釈できる。

ポアソン括弧

解析力学におけるポアソン括弧はヤコビ恒等式を満たす。

${\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{h,f\},g\}+\{\{g,h\},f\}=0}$

交換関係

量子力学における交換子はヤコビ恒等式を満たす。

${\displaystyle [[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0}$

• リー環
• 代数的構造