ユークリッド位相

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上のユークリッドノルムは非負の値を取る関数 ${\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ で以下のように定義される:

$${\displaystyle \left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.}$$

他のノルム同様、 ユークリッドノルムから距離が${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|}$で定義される距離空間が生成される。ユークリッドノルムから生成される距離 ${\displaystyle d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$はユークリッド距離と呼ばれる。そして二点${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$と${\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}$は:

$${\displaystyle d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.}$$

任意の距離空間において、開球がその空間上の位相の基底を形成する。[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上のユークリッド位相はこれらの球から生成される。

すなわち、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球${\displaystyle B_{r}(p)}$の和集合で与えられる。ここで${\displaystyle B_{r}(p)}$は、${\displaystyle B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\}(0<r\in \mathbb {R} ,p\in \mathbb {R} ^{n})}$

(${\displaystyle d}$はユークリッド距離)で定義される。

この位相が与えられたとき、 実数直線${\displaystyle \mathbb {R} }$はT₅ 空間である。 ${\displaystyle {\overline {A}}\cap B=A\cap {\overline {B}}=\varnothing }$を満たす${\displaystyle \mathbb {R} }$の部分集合${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$が与えられたとき(ここで${\displaystyle {\overline {A}}}$は${\displaystyle A}$の閉包)、開集合${\displaystyle S_{A}}$,${\displaystyle S_{B}}$が存在して、${\displaystyle A\subseteq S_{A}}$,${\displaystyle B\subseteq S_{B}}$,${\displaystyle S_{A}\cap S_{B}=\varnothing }$となる。[2]

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