ラマヌジャン・スコーレムの定理

ラマヌジャン・スコーレムの定理（ラマヌジャン・スコーレムのていり、英: Ramanujan-Skolem's theorem）またはラマヌジャン・ナーゲルの定理（ラマヌジャン・ナーゲルのていり、英: Ramanujan-Nagell's theorem）はディオファントス方程式の一つの解に関する定理で、次の不定方程式

2ⁿ − 7 = x²

の自然数解が存在するのは n = 3, 4, 5, 7, 15 のときだけであるというもの。(n, x) = (3, 1), (4, 3), (5, 5), (7, 11), (15, 181) である。

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予想し、ナーゲル (Trygve Nagell) が1948年に（元の証明はノルウェー語で発表されたが、1961年に英語版の論文が発表された）、トアルフ・スコーレムが1959年に証明した。

一般化

一般に与えられた正の整数 D に対して

x^{2}+D=2^{n}

は有限個の解しかもたない。ロジェ・アペリーは 7 以外の正の整数 D に対して、この方程式は多くても2つの正の整数解しかもたないことを示したが[1]、Beukersは2つの正の整数解をもつのは

D=7,23\;((x,n)=(3,5),(45,11)),\quad 2^{k}-1\;(k\geq 4,\,(x,n)=(1,k),(2^{k-1}-1,2k-2))

の場合に限ることを示し、さらに n < 435 + 10 log |D| / log 2 （これは D が負の場合にも成り立つ）となることを示した[2]。

Lebesgue–Nagell 方程式

一般に、任意の整数 A, D に対して、不定方程式

x^{2}+D=Ay^{n}

の整数解 x, y, n の個数は有限個で、原理的に計算可能である[3]。M. Lebesgue （アンリ・ルベーグとは別人）は1850年に

x^{2}+1=y^{n}

の整数解は x = 0, y = 1 しかないことを示した。これにちなんで上記の形の方程式を Lebesgue–Nagell 方程式とよぶ。フェルマーの最終定理の証明にも用いられたモジュラー性の理論を用いて Bugeaud, Mignotte, Siksek はこの不定方程式を A = 1, 1 ≤ D ≤ 100 に対して解いた[4]。特に元のラマヌジャン・ナーゲルの方程式の直接の拡張である方程式

x^{2}+7=y^{n},n>1

の自然数解は x = 1, 3, 5, 11, 181 のみである。

脚注

Apery (1960)
Beukers (1981)
Shorey, van der Poorten, Tijdeman, Schinzel (1976), Shorey, Tijdeman (1986) など
Bugeaud, Mignotte, Siksek (2006)

参考文献

Roger Apéry (1960). “Sur une équation diophantienne”. C. R. Acad. Sci. Paris 251: 1263–1264.
F. Beukers (1981). “On the generalized Ramanujan-Nagel equation I”. Acta Arith. 38: 389–410.
M. Lebesgue (1850). “Sur l’impossibilité, en nombres entiers, de l’équation x^m = y² + 1”. Nouv. Ann. Math. Sér. 1 9: 178–181.
T. Nagell (1948). “Løsning till oppgave nr 2”. Norsk Mat. Tidsskr. 30: 62–64.
T. Nagell (1961). “The Diophantine equation x² + 7 = 2ⁿ”. Ark. Mat. 4: 185–187. doi:10.1007/BF02592006.
T. N. Shorey; A. J. van der Poorten; R. Tijdeman; A. Schinzel (1976). "Applications of the Gelʹfond-Baker method to Diophantine equations". Transcendence theory: advances and applications (Proc. Conf., Univ. Cambridge, Cambridge, 1976). Academic Press. pp. 59–77.
T. N. Shorey; R. Tijdeman (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics. 87. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511566042. ISBN 9780511566042
Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). “Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue–Nagell equation”. Compos. Math. 142: 31–62. doi:10.1112/S0010437X05001739.

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[1] Apery (1960)

[2] Beukers (1981)

[3] Shorey, van der Poorten, Tijdeman, Schinzel (1976), Shorey, Tijdeman (1986) など

[4] Bugeaud, Mignotte, Siksek (2006)